Uma das questões que é levantada entre pesquisadores de diversas áreas diz respeito a associação entre variáveis. Veja alguns casos:

• A velocidade do atleta está associada com sua massa muscular ?
• A venda diária de refrigerantes está associada a temperatura máxima ?
• A nota de matemática de um aluno está associada a sua nota em física ?

Exemplo 5.3: Dentre os alunos do 1o ano do ensino médio de uma certa escola, selecionou-se os quinze alunos com melhor desempenho (nota acima de 7) em inglês. Veja na tabela abaixo as notas em inglês, português e matemática destes quinze alunos.

<latex> \begin{tabular}{c|ccc} \hline & & Notas
Aluno & Inglês & Português & Matemática
\hline 1 & 7 & 8 & 5
2 & 7 & 6 & 6
3 & 7 & 8 & 7
4 & 7 & 9 & 5
5 & 8 & 8 & 5
6 & 8 & 6 & 5
7 & 8 & 9 & 6
8 & 8 & 7 & 4
9 & 8 & 7 & 7
10 & 8 & 6 & 6
11 & 8 & 7 & 5
12 & 9 & 8 & 5
13 & 9 & 9 & 6
14 & 9 & 8 & 5
15 & 10 & 8 & 5
\hline \end{tabular} </latex>

Para uma análise inicial da associação entre duas variáveis quantitativas, o diagrama de dispersão é a ferramenta indicada. O diagrama de dispersão consiste em exibir no plano cartesiano os pares de valores observados para duas variáveis quantitativas.

Figura 5.1- Diagrama de dispersão entre notas de inglês e português

Na Figura 5.1 é apresentado um diagrama de dispersão entre as notas de inglês e as notas de português dos 15 alunos. A reta tracejada indica qual seria o comportamento teórico se a associação entre as duas notas fosse perfeita, ou seja, se o alunos tivessem obtido as mesmas notas em português e inglês. A reta é referência para avaliar o comportamento dos alunos. Aqueles que tiveram desempenho melhor em português do que inglês estão acima da reta e os outros, que tiveram melhor desempenho em inglês, estão abaixo da reta.

Figura 5.2- Diagrama de dispersão entre notas de inglês e matemática

Um novo diagrama de dispersão (Figura 5.2) ilustra a associação entre as notas de inglês e matemática. Nesta figura, revela-se a tendência dos alunos com bom desempenho em inglês apresentarem mau desempenho em matemática.

Embora o diagrama de dispersão seja uma importante ferramenta para visualizar a associação entre duas variáveis quantitativas, há algumas limitações no seu uso. Para citar uma delas, se no conjunto de dados o par (x,y) é repetido várias vezes, este fato não é ilustrado no diagrama de dispersão, a menos da utilização de uma intervenção gráfica como registrar o número de observações correspondente ao ponto (x,y).

Para representar objetivamente o grau de associação entre valores observados para duas variáveis quantitativas, utiliza-se com frequência a medida chamada de coeficiente correlação.

Para um conjunto de dados com n pares de valores (x,y) para as variáveis X e Y , a dependência (grau de associação) linear é medida através do coeficiente de correlação linear definido através de:

<latex> \rho_{X,Y}= \dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}_{obs})(y_i-\bar{y}_{obs})}{\sqrt[\sum_{j=1}^n(x_j-\bar{x}_{obs})^2][\sum_{j=1}^n(y_j-\bar{y}_{obs})^2]} </latex>

de forma mais conveniente este coeficiente pode ser reexpresso como:

<latex> \rho_{X,Y}= \dfrac{\sum_{i=1}^nx_iy_i -n\bar{x}_{obs}\bar{y}_{obs}}{\sqrt[\sum_{j=1}^nx_j^2-n\bar{x}_{obs}^2][\sum_{j=1}^ny_j^2-n\bar{y}_{obs}^2]} </latex>

O coeficiente de correlação é uma medida adimensional que varia de -1 até 1. Quanto mais próximo dos extremos, maior é a evidência de asssociação entre as variáveis. Caso o coeficiente de correlação seja igual a zero, não há dependência linear entre as variáveis.

Exemplo 5.11: A quantidade de chuva é um fator importante na produtividade agrícola. Para medir esse efeito foram anotados, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o índice pluviométrico em milímetros (X) e a produção do último ano em toneladas (Y). Vamos determinar o coeficiente de correlação.

<latex> \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X & 120 & 140 & 122 & 150 & 115 & 190 & 130 & 118
\hline Y & 40 & 46 & 45 & 37 & 25 & 54 & 33 & 30
\hline \end{tabular} </latex>

Para calcular o coeficiente de correlação entre o índice pluviométrico e a produção agrícola, através da segunda das formulações apresentadas, são necessários os seguintes somatórios:

<latex>\sum_{i=1}^8x_i=1085</latex> <latex>\sum_{i=1}^8y_i=310</latex> <latex>\sum_{i=1}^8x_iy_i=43245</latex> <latex>\sum_{i=1}^8x_i^2=151533</latex> <latex>\sum_{i=1}^8y_i^2=12640</latex>

a substituição destes resultados na fórmula, gera o coeficiente :

<latex>\rho_{X,Y}=\dfrac{43245-8 \times 135,63 \times 38,75}{\sqrt[151533-8 \times 13563^2][12640-8 \times 3875^2]}=0,73</latex>

note que o valor próximo a 1, expressa associação positiva indicando que o aumento da quantidade de chuva está associado com aumento da produção.