Medidas Resumo

Em um processo de coleta de dados, através de amostragem ou censo, faz-se necessário resumir as informações contidas nas variáveis através de medidas adequadas. Neste capítulo estas serão chamadas medidas resumo.

Exemplo 4.1 Em um ponto de ônibus, uma pessoa pergunta sobre o tempo até a passagem de uma determinada linha. Suponha que você havia coletado ao longo da semana anterior, os tempos (em minutos) e registrado os seguintes resultados: 9; 12; 8; 10; 14; 7; 9. Para apontar a tendência central destes dados, você faz o uso da média e responde: “aproximadamente 10 minutos”.

Neste exemplo, ilustra-se o papel de uma medida resumo para um conjunto de dados observados pois a média aritmética dos números acima é 9,86, e este resultado é utilizado na resposta.

As medidas de posição também são conhecidas por medidas de tendência central. Estas são calculadas como a primeira síntese de uma variável. Aqui, mostraremos como calcular as principais medidas de posição: média, mediana e moda.

Sejam as observações obtidas a partir da variável aleatória X, em uma população ou em uma amostra:

<latex> x_1,x_2,\ldots,x_n </latex>

considere a seguinte notação para os dados ordenados:

<latex> x_{(1)},x_{(2)},\ldots,x_{(n)} </latex>

onde x₍₁₎ é o menor valor no conjunto de dados e x_(n) é o maior valor. Então, a média, mediana e moda observada são calculadas conforme:

• Média Observada

<latex> \bar{x}_{obs}=\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} </latex>

• Mediana Observada

<latex> md_{obs}=x_{(\frac{n+1}{2})} </latex> se n é impar

<latex> md_{obs}=\dfrac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2} </latex> se n é par

• Moda observada

A moda observada, aqui denotada por mo_obs é simplesmente o valor mais frequente em um conjunto de dados.

Embora as medidas de posição forneçam uma primeira síntese dos dados, medir variabilidade é fundamental em qualquer análise estatística. A medidas de dispersão irão exercer este papel, ou seja, quantificar a incerteza presentes nos dados.

Tal como ocorreu para as medidas de posição, aqui serão apresentadas as medidas de dispersão numa situação em que dispõe-se de um conjunto de dados.

Serão apresentadas as medidas:

• amplitude
• desvio mediano (absoluto)
• desvio médio (absoluto)
• variância
• desvio padrão.

A amplitude é a diferença entre a maior e menor observação em um conjunto de dados.

<latex>\Delta =x_{(n)}-x_{(1)}</latex>

A grande deficiência desta medida está no fato de ser calculada em função de duas observações em um conjunto de n números. Caso os extremos sejam discrepantes em relação ao restante dos dados, a amplitude pode superdimensionar a variabilidade dos dados.

O desvio mediano é calculado em função das distâncias (desvios) das observações em relação à mediana. Deste modo, a i-ésima observação está distante da mediana pela expressão:

<latex> |x_i-md_{obs}|</latex>

ao tomarmos a média destes desvios, temos a medida denominada desvio mediano.

<latex>\textit{desvio mediano}=\dfrac{\sum_{i=1}^n|x_i-md_{obs}|}{n}</latex>

Na medida desvio mediano, o desvio é calculado em relação à mediana. Entretanto, o conceito de desvio em estatística está mais relacionado à distância de uma observação em relação a média.

<latex> |x_i-\bar{x}_{obs}|</latex>

Sendo assim, a substituição da mediana pela média, e utilização do valor absoluto, vai fornecer a medida chamada desvio médio.

<latex>\textit{desvio médio}=\dfrac{\sum_{i=1}^n|x_i-\bar{x}_{obs}|}{n}</latex>

A variância é outra medida de dispersão calculada com base em desvios. Neste caso, serão considerados os desvios quadráticos em relação a média dados pela expressão :

<latex> (x_i-\bar{x}_{obs})^2</latex>

e ao tomar as médias destes desvios quadráticos, é obtida a variância.

<latex>var_{obs}(X)=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}_{obs})^2}{n}</latex>

Por calcular desvios quadráticos, a variância é uma medida de difícil interpretação. Entretanto, ao tomarmos a raiz quadrada desta medida temos o desvio-padrão que retorna a escala original em que os dados foram medidos.

<latex>dp_{obs}(X)=\sqrt{var_{obs}}</latex>

Exemplo 4.3 Sejam as quantidades de parafusos em 10 caixas de um lote: 98;102;100;100;99;97;96;95;99;100. A Tabela 4.1 exibe os valores dos desvios utilizados para calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão para este conjunto de dados.

Tabela 4.1 - Desvios, desvios absolutos e desvios quadráticos

<latex> \begin{tabular}{c|cccc} \hline i & x_i & (x_i-\bar{x}_{obs}) & \|x_i-\bar{x}_{obs}\| & (x_i-\bar{x}_{obs})^2
\hline 1 & 98 & -0,6 & 0,6 & 0,36
2 & 102 & 3,4 & 3,4 & 11,56
3 & 100 & 1,4 & 1,4 & 1,96
4 & 100 & 1,4 & 1,4 & 1,96
5 & 99 & 0,4 & 0,4 & 0,16
6 & 97 & -1,6 & 1,6 & 2,56
7 & 96 & -2,6 & 2,6 & 6,76
8 & 95 & -3,6 & 2,6 & 12,96
9 & 99 & 0,4 & 0,4 & 0,16
10 & 100 & 1,4 & 1,4 & 1,96
\hline \sum_{i} & 986 & 0 & 16,8 & 40,4
\end{tabular} </latex>

Na Tabela 4.1, coloca-se na última linha os totais referentes as somas dos valores em cada coluna. Dividindo estas somas pelo tamanho da amostra n=10, encontra-se :

<latex>\bar{x}_{obs}=\dfrac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}=98,6</latex>

<latex>\textit{desvio médio}=\dfrac{\sum_{i=1}^n|x_i-\bar{x}_{obs}|}{n}=1,68</latex>

<latex>var_{obs}(X)=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}_{obs})^2}{n}=4,04</latex>

Após o cálculo da variância, é possível encontrar o desvio padrão, calculando-se a raiz deste número.

<latex>dp_{obs}(X)=\sqrt{var_{obs}(X)}=\sqrt{4,04}=2.01</latex>