\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\hyphenation{re-pre-sen-tam mo-de-lo des-co-nhe-ci-das as-su-mi-da
mi-ni-mi-zar fa-lha-ram di-fi-cul-da-de a-pro-xi-ma
ve-ros-si-mi-lhan mo-de-los pro-ba-bi-li-da-de con-si-de-ra-das
a-com-pa-nha-da li-te-ra-tu-ra in-te-res-se mo-di-fi-ca-da
se-ma-nas co-nhe-ci-do mo-de-ling me-tho-ds a-de-qua-do po-pu-la
lo-ga-rit-mo e-xa-to ne-nhu-ma mo-de-la-da no-mi-nal
con-si-de-ra-da dis-cri-mi-na con-si-de-ra-dos par-ti-cu-lar
ex-pe-ri-men-to pu-bli-ca mo-de-lo ta-ma-nhos si-mu-la
co-nhe-ci-men-to nor-ma-li-da-de o-ri-gi-na-ri-a-men-te Wedderburn
te-nham pro-ba-bi-lis-ti-ca po-li-no-miais tra-ba-lhan-do
pro-ce-di-men-to Ge-ne-ra-li-za-das ge-ne-ra-li-da-de res-pos-tas
a-tu-a-li-zan-do McCullagh va-lo-res im-pul-si-o-na-do
Ge-ne-ra-li-za-dos ou-tros ge-ne-ra-li-za-do re-pre-sen-ta Azzalini pro-ba-bi-li-da-des ad-mi-nis-tra-dos re-fe-ren-tes po-pu-la-ci-o-nal o-pe-ra-ci-o-nal}

\begin{document}
%\tableofcontents \hyphenation{ta-ma-nhos}

\begin{center}
\textbf{ Considerações sobre a inclusão de efeitos aleatórios em modelos de transição de Markov}\\[1em]
\scriptsize{Idemauro Antonio Rodrigues de Lara\\ Departamento de Estatística, Universidade Federal do Paraná\\
Clarice Garcia Borges Demétrio\\ Departamento de Ciências Exatas, ESALQ-Universidade de São Paulo\\
Sílvia Emiko Shimakura\\Departamento de Estatística, Universidade Federal do Paraná}
\end{center}


\section{Introdução}
\indent

MODELO DE TRANSIÇÃO DE MARKOV $\Rightarrow$ MLG
para a distribuição condicional de $Y_{it}$ dado $\mat{h}_{it}$ e $\mat{x}_{it}$
$\Rightarrow$ modelos baseados em processos estocásticos (DIGGLE et
al.,~2002).

%\smallskip

\begin{itemize}

\item  $\mat{y}_{i}=(y_{i1},y_{i2},\ldots,y_{in_{i}})'$ (variáveis respostas);

\item  $\mat{x}_{it}=(x_{it1},\ldots,x_{itp})'$ (covariáveis);

\item $\mat{h}_{it}=(y_{i1},y_{i2},\ldots,y_{i,(t-1)})$ (respostas prévias).

\end{itemize}

%\smallskip

A média e a variância condicional
satisfazem as equações:
\begin{eqnarray}\label{preditor}
g(\mu_{it}^{C})=\eta_{it}=\mat{x}'_{it}\mat{\beta}
+\sum_{r=1}^{s}f_{r}(\mat{h}_{it}; \mat{\alpha}) \hspace{0.3 cm}
\mbox{e} \hspace{0.3 cm} v_{it}^{C}=v(\mu_{it}^{C})\phi,
\end{eqnarray}
Parâmetros de interesse (a
priori)$\Rightarrow$
$\mat{\delta}=(\mat{\beta},\mat{\alpha})$ $\Rightarrow$ modelos de efeitos fixos.

\begin{itemize}

\item  Com Variáveis categorizadas $\Rightarrow$ especificar probabilidades de transição.

\item  Para dados binários, assumindo ligação canônica e dependência estocástica 1, tem-se:
\end{itemize}

\[\mat{P}(t)=\left(\begin{array}{lll}
\displaystyle \pi_{00}(t)=\frac{1}{1+\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta})}& &\displaystyle \pi_{01}(t)=\frac{\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta})}{1+\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta})}\\
& &  \\
\displaystyle \pi_{10}(t)=\frac{1}{1+\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta}+\alpha)}& &\displaystyle \pi_{11}(t)=\frac{\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta}+\alpha)}{1+\exp(\mat{x}'_{it}\mat{\beta}+\alpha)}\\
\end{array}\right). \]


\subsection{Considerações iniciais}

\begin{itemize}

\item não há razões para se restringir apenas aos efeitos fixos na estrutura do preditor linear (\ref{preditor}) [Korn e Whittemore~(1979);
Stiratelli, Laird e Ware~(1984); Lara~(2007)];


\item  a estrutura de medidas repetidas com variáveis binárias aliada ao número de ocasiões pode esconder a existência de efeitos aleatórios;


\item necessidade de desenvolverem estudos com simulação.

\end{itemize}


\section{Métodos}

\subsection{Definição do modelo de transição misto}

\indent

Para uma cadeia de ordem
$q$, tem-se como preditor linear:
\begin{eqnarray}\label{mtm}
\eta_{it}=\mat{x}'_{it}\mat{\beta}+\sum_{r=1}^{s}f_{r}(\mat{h}_{it}; \mat{\alpha})+\mat{z}'_{it}\mat{d}_{i},
\end{eqnarray}
em que $\mat{\beta, \alpha}$ são os parâmetros associados aos
efeitos fixos, $\mat{z}_{it}$ é a $i$-ésima
linha da matriz do modelo associada ao vetor de  efeitos aleatórios, $\mat{d}_{i}(k \times 1)$. Sendo $\mat{d}_{i}\sim
N_{k}(\mat{0},\mat{G})$.


Para simplificar a notação (\ref{mtm}), considere $\mat{\delta}=(\mat{\beta,
\alpha})$:
\begin{eqnarray}\nonumber
\eta_{it}=\mat{x}_{it}^{\ast'}
\mat{\delta}+\mat{z}'_{it}\mat{d}_{i}.
\end{eqnarray}

A função de verossimilhança para $\mat{\delta}$ e $\mat{G}$ no
caso estacionário é proporcional a:
\begin{eqnarray}\label{fvmteal2}
L(\mat{\delta},\mat{G};\mat{y}) \propto \prod_{i=1}^{N}\int
\prod_{t=2}^{n_{i}}[\mu_{it}(\mat{\delta},\mat{G})]^{y_{it}}
[1-\mu_{it}(\mat{\delta},\mat{G})]^{1-y_{it}}f(\mat{d}_{i};
\mat{G})d(\mat{d}_{i}),
\end{eqnarray}
em que
$\mu_{it}(\mat{\delta},\mat{d}_{i})=\mat{\mbox{E}}(Y_{it}\mid
\mat{d}_{i};\mat{\delta})$.

Focalizando a atenção sob função de
ligação canônica e supondo distribuição normal para o efeito
aleatório, $\mat{d}_{i}$, a expressão (\ref{fvmteal2}), reduz-se
a:
\begin{eqnarray}\label{fvmeal3}
\scriptsize {\prod_{i=1}^{N}\int \exp
\bigg[\mat{\delta}'\sum_{t=2}^{n_{i}}
\mat{x}_{it}^{\ast}y_{it}+\mat{d}'_{i}\sum_{t=2}^{n_{i}}\mat{z}_{it}y_{it}-
\sum_{t=2}^{n_{i}}\ln\{1+\exp(\mat{x}_{it}^{\ast'}\mat{\delta}+\mat{z}'_{it}\mat{d}_{i})\}\bigg]
(2\pi)^{-1}|\mat{G}|^{-1/2}
\exp\bigg(\frac{-\mat{d}'_{i}\mat{G}^{-1}\mat{d}_{i}}{2}\bigg)d(\mat{d}_{i})},
\end{eqnarray}
em que $\mat{G}$ é matriz de covariâncias dos efeitos aleatórios,
$\mat{d}_{i}$.

Nesse trabalho, para maximização da função (\ref{fvmeal3}) optou-se pela técnica baseada na aproximação dos integrandos (Método de Laplace),
devido à otimização do custo operacional das simulações.


\subsection {Estudo por simulação}

\indent

A implementação computacional foi feita no \emph{software} R.

\begin{itemize}
\item  Modelo para simulação:
\begin{eqnarray}\label{mteal1}
\eta_{it}= (\beta_{0}+ d_{i0})+ \beta x_{it}+\alpha
y_{i(t-1)}
\end{eqnarray}

\item assumindo estacionariedade e alance $1$ para a cadeia;

\item vetor de parâmetros: $\mat{\delta}=(-2,5; 1,0;  2,0)$ e $d_{i}\sim N(0; 0,5)$;

\item $n=500$ indivíduos;

\item $t=4,5, 8$ e $12$ ocasiões;

\item $10.000$ simulações para cada situação de ocasião;

\item ajustaram-se modelos de transição com interceptos aleatórios (estrutura real $\Rightarrow$ equação \ref{mteal1}) pela função \emph{glmmML}  e ignorando-se essa estrutura pela função \emph{geeglm} (modelos somente com efeitos fixos);

\item teste da razão de verossimilhanças e o  critério da informação de Akaike (AIC) foram usados para discriminar entre esses dois modelos.
\end{itemize}


\section{Resultados}

\begin{table}[!htb]
\caption {Erro quadrático médio das estimativas dos parâmetros com base nos dados simulados,  considerando modelos somente com efeitos fixos (Modelo 1) e mistos (Modelo 2) e $4$ diferentes números de possibilidades de ocasiões.\label{tab1}}

\[\begin{tabular}{crr} \hline
                      &\multicolumn{2}{c}{$t=4$} \\
Parâmetros            &Modelo 1           & Modelo 2  \\  \hline
$\beta_{0}$           &0,01896            & 0,02364        \\
$\beta_{1}$           &0,02749            & 0,02905         \\
$\alpha$              &0,05632            & 0,04858          \\\hline
                      &\multicolumn{2}{c}{$t=5$} \\
Parâmetros            &Modelo 1           & Modelo 2  \\  \hline
$\beta_{0}$           & 0,01515           & 0,01583               \\
$\beta_{1}$           & 0,02311           & 0,02221                \\
$\alpha$              & 0,05317           & 0,03952                 \\\hline
                     &\multicolumn{2}{c}{$t=8$} \\
Parâmetros            &Modelo 1           & Modelo 2  \\  \hline
$\beta_{0}$           &0,01070            & 0,00847        \\
$\beta_{1}$           &0,01783            & 0,01339         \\
$\alpha$              &0,05040            & 0,02031          \\\hline
                     &\multicolumn{2}{c}{$t=12$} \\
Parâmetros            &Modelo 1           & Modelo 2  \\  \hline
$\beta_{0}$           & 0,00825           & 0,00533               \\
$\beta_{1}$           & 0,01573           & 0,00913                \\
$\alpha$              & 0,04926           & 0,01011                 \\\hline
\end{tabular}\]

\end{table}




\begin{table}[!htb]
\caption {Percentual do número de vezes em que o AIC do Modelo 1 foi maior do que o do Modelo 2 de acordo com o número de ocasiões.\label{tab2}}
\[\begin{tabular}{ccccc} \hline
                     &\multicolumn{4}{c}{Número de ocasiões} \\
              & 4                  &5            &8             &12  \\ \hline
 Percentual   & $12,29\%$          &$18,66\%$    &$62,59\%$     &$96,93\%$  \\ \hline
\end{tabular}\]

\end{table}


Verificou-se uma tendência dos modelos em subestimar o efeito da covariável $X$ e superestimar o efeito de $Y_{(t-1)}$, sendo esses vícios maiores para o Modelo 1, ou seja, ignorar a existência de efeito aleatório fatalmente acarretará em estimativas viciadas, que conseqüentemente vão distorcer as probabilidades de transição.



\section{Considerações finais}
\indent

\begin{itemize}

\item Modelos de transição misto tem duas fontes de correlação: história e heterogeneidade entre os coeficientes de regressão;

\item Deve-se avaliar a necessidade da inclusão de  efeitos aleatórios ou ainda testar a existência desses efeitos no modelo;

\item Matriz de probabilidades de transição pode ser interpretada individualmente, ou seja, uma matriz para cada indivíduo.




\end{itemize}




\indent



\section*{Referências Bibliográficas}

\begin{flushleft}

{DIGGLE, P.J.; HEAGERTY, P.J.; LIANG, K.Y.; ZEGER, S.L. {\bf Analysis of longitudinal data}. New York: Oxford University Press, $2002$, $379$~p.}
\vskip 5mm

{KORN, E.L.; WHITTEMORE, A.S. Methods for analysing panel studies of acute health effects of air pllution. {\bf Biometrics}, Washington, v.~$35$, p.~$715-802$, $1979$.}
\vskip 5mm

{LARA, I.A.R. {\bf Modelos de transição para dados binários}. 2007, 111~p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agronômica), Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz-USP, Piracicaba, 2007.}
\vskip 5mm


{STIRATELLI, R.; LAIRD, N.; WARE, J.H. Random effects-models for serial observations with binary response. {\bf Biometrics}, Washington,  v.~$40$, p.~$961-971$, $1984$.}
\vskip 5mm


\vskip 5mm

\end{flushleft}

\end{document}






\begin{table}[!htb]
\caption {Percentual do número de vezes em que o AIC do Modelo 1 foi maior do que o do Modelo 2 de acordo com o número de ocasiões.\label{tab2}}
\[\begin{tabular}{ccccc} \hline
                     &\multicolumn{4}{c}{Número de ocasiões} \\
              & 4                  &5            &8             &12  \\ \hline
 Percentual   & $12,29\%$          &$18,66\%$    &$62,59\%$     &$96,93\%$  \\ \hline
\end{tabular}\]

\end{table}


