\section{Metodologia} \label{met}

O modelo de regressão logística \'e utilizado 
para analisar respostas bin\'arias. No caso de dados de incidência 
de doenças em plantas, torna-se necess\'ario considerar a depend\^encia 
espacial, pois espera-se que plantas próximas tenham características 
similares. O modelo utilizado neste caso \'e o modelo 
autologístico~\cite{besag:72}.

\subsection{Modelo autologístico}

O modelo autologístico descreve a probabilidade de uma planta estar 
doente dado o \textit{status} das plantas vizinhas, utilizando a 
função de ligação logito, 
\begin{equation}\label{eq:prob}
logit(p_{ij}) =  \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j} + y_{i+1,j}) + 
   \gamma_2 (y_{i,j-1} + y_{i,j+1}) \; ,
\end{equation}
em que $p_{ij}$ é a probabilidade da planta na linha $i$ e na coluna $j$ 
estar doente; $y_{i-1, j}$ e $y_{i+1,j}$ são as vizinhas das linhas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança entre linha; 
$y_{i,j-1}$ e $y_{i,j+1}$ são as vizinhas das colunas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança dentro da linha; 
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros que medem o 
efeito das covariáveis de vizinhança.
Esta estrutura é flexível para estudar efeito direcional. 

Um m\'etodo simples de estimação de $\{\gamma_1, \gamma_2\}=\gamma$ 
\'e baseado em pseudo-verossimilhança~\cite{besag:77}. 
Obten-se $\gamma$ que maximize a função de pseudo-verossimilhança 
\begin{equation}
\tilde{L}(\gamma,y) = \prod_i \prod_j f(p_{ij}, y)\;,
\end{equation}
em que $f(.)$ é a densidade da distribuição Bernoulli. 
Este método estima bem os efeitos das covari\'aveis, porém as 
estimativas de variância dos efeitos são subestimadas. 

Uma metodologia sugerida para estimar a variância das estimativas, 
é utilizar reamostragem. Devida a configuração espacial dos dados, 
a reamostragem não é simples e uma id\'eia \'e reamostrar em 
blocos~\cite{cressie:93}. Uma alternativa \'e reamostrar utilizando 
o algoritmo amostrador de Gibbs~\cite{gumpertz:97}. 
A idéia é retirar amostras da distribuição de cada 
observa\c{c}ão $y_{ij}$ condicionando ao \textit{status} das vizinhas, 
segundo a fórmula do modelo autologístico (\ref{eq:prob}).

Inicialmente considera-se os dados observados, $y^{(0)}$ e estima 
o modelo utilizando o método de pseudo-verossimilhan\c{c}a, 
obtendo $\hat{\gamma}^{(0)}$. As estimativas 
$(\hat{\gamma}^{(1)}, ..., \hat{\gamma}^{(n)})$ são obtidas das 
re-amostras $(y^{(1)}, ..., y^{(n)})$. As re-amostras são 
obtidas utilizando os passos:
\begin{enumerate}
\item fazer um ciclo em ordem aleatória pelas plantas atualizando 
seu \textit{status} utilizando $f(\hat{\gamma}^{(0)}, y^{t'})$, 
onde $y^{t'}$ são as observações atuais. 
\item ajustar o modelo com a reamostra do passo anterior maximizando 
  $\tilde{L}(\hat{\gamma^{(0)}}, y^{(t)})$,
\item repetir $N$ vezes os passos 1 e 2.
\end{enumerate}
A estimativa da variância de $\hat{\gamma}$ é calculando a 
variância de $(\hat{\gamma}^{(1)}, ..., \hat{\gamma}^{(n)})$. 
É comum descartar-se $m$ observações iniciais e utilizar os 
valores obtidos a cada $k$ passos. Esses procedimentos foram 
implementados em \cite{R:07}, no pacote \pkg{Rcitrus}~\cite{Rcitrus:05}.

\subsection{Modelos considerados}

Os dados analisados são 11 avaliações feitas em 
um mesmo talh\~ao. Diante disso, consideramos tr\^es modelos. 
O modelo $m1$ para cada avalia\c{c}\~ao: 
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j}^t + y_{i+1,j}^t) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^t + y_{i,j+1}^t) \;;
\end{array}\]
O modelo $m2$, com o \textit{status} das 
plantas vizinhas da avalia\c{c}\~ao anterior:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + 
  \gamma_1 (y_{i-1,j}^{t-1} + y_{i+1,j}^{t-1}) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^{t-1} + y_{i,j+1}^{t-1}) \;;
\end{array}\]
e o modelo $m3$ com o \textit{status} das plantas vizinhas 
na avalia\c{c}\~ao anterior e na mesma avalia\c{c}\~ao da 
resposta ao mesmo tempo:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + 
  \gamma_1 (y_{i-1,j}^{t-1} + y_{i+1,j}^{t-1}) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^{t-1} + y_{i,j+1}^{t-1}) + \\ 
&&\gamma_3 (y_{i-1,j}^t + y_{i+1,j}^t) + 
  \gamma_4 (y_{i,j-1}^t + y_{i,j+1}^t) \;.
\end{array}
\]

O teste da signific\^ancia dos par\^ametros esta baseado em que 
$\hat{\gamma} / \sqrt{Var(\hat{\gamma})} \sim N(0,1) $.
No modelo $m1$, o teste da significância dos coeficientes, 
verifica a existência da dependência espacial e permitirá 
ver se a agregação ocorre apenas nas linhas (curto alcance), 
entre as linhas (longo alcance). 
O modelo $m2$ avalia a capacidade preditiva deste modelo. \'E 
interessante saber se é possível prever o \textit{status} das 
plantas em um momento futuro. A análise da significância de 
cada coeficiente separadamente, permitirá estudar a forma de 
propagação da doença. A partir do modelo $m3$, podemos avaliar 
conjuntamente o efeito das covariáveis no tempo atual e anterior.

Um crit\'erio de escolha de modelos que tem sido bastante utilizado 
\'e o crit\'erio de informa\c{c}\~ao de Akaike, ou \textit{Akaike 
information criteria - AIC}. O AIC \'e simplesmente 
$2*log(L(Y,\theta)) + 2*k$, onde $k$ \'e o n\'umero de par\^ametros.