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\newcommand{\msc}{{\normalfont\textit{Morte Súbita dos Citrus}}{}}

\title{Modelo autologístico:\\ Uma aplicação a dados de 
morte súbita dos citros}
\author{Elias Teixeira Krainski - mestrando UFMG\\ 
Luziane Franciscon - EMBRAPA e mestranda ESALQ\\ 
Paulo Justiniano Ribeiro Junior - Prof. UFPR e Coord. LEG\\
Renato Beozzo Bassanezi - FUNDECITRUS}

\begin{document}

\begin{frame}
\maketitle
Laborat\'orio de Estatística e Geoirforma\c{c}\~ao - UFPR.\\
\url{http://www.leg.ufpr.br} \\
\{elias, luziane, paulojus\}@leg.ufpr.br
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Motiva\c{c}\~ao}
\begin{itemize}
\item \msc
\begin{itemize}
 \item R\'apido progresso da doen\c{c}a e morte da planta
 \item R\'apido avan\c{c}o sobre \'area citr\'icola
 \end{itemize}
\pause
\item An\'alise
 \begin{itemize}
  \item Disposi\c{c}\~ao espacial dos dados modelo autoregressivo
  \item Dados bin\'arios: modelo autolog\'istico~\cite{besag:72}
 \end{itemize}
\pause
\item Dados analisados
 \begin{itemize}
  \item 20 linhas com 48 plantas por linha,
  \item Espaçamento $4\times 7.5$ metros,
  \item 11 avaliações feitas de 05/11/2001 até 07/10/2002.
 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dados de \msc}
\begin{center}
\setkeys{Gin}{width=0.9\textwidth}
\includegraphics{/home/elias/disciplinas/laboratioII/Rfigs/vv202}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Objetivos}
\begin{itemize}
 \item Influ\^encia da vizinhan\c{c}a na probabilidade de doen\c{c}a
\pause
 \item Influ\^encia temporal
 \begin{itemize}
\pause
 \item Vizinhan\c{c}a na mesma avalia\c{c}\~ao, 
 \item Vizinhan\c{c}a na avalia\c{c}\~ao anterior,
 \item Vizinhan\c{c}a em ambos os casos.
 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Modelo autologístico \cite{besag:72}}

\begin{equation}\label{eq:prob}
logit(p_{ij}) =  \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j} + y_{i+1,j}) + 
   \gamma_2 (y_{i,j-1} + y_{i,j+1}) 
\end{equation}

\begin{itemize}
\pause 
\item  $p_{ij}$ é a probabilidade da planta na linha $i$ e na coluna $j$ 
estar doente; 
\pause
\item $y_{i-1, j}$ e $y_{i+1,j}$ são as vizinhas das linhas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança entre linha; 
\pause
\item $y_{i,j-1}$ e $y_{i,j+1}$ são as vizinhas das colunas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança dentro da linha; 
\pause 
\item $\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros que medem o 
efeito das covariáveis de vizinhança.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Estima\c{c}\~ao \cite{besag:75}}
Utilizar uma pseudo-verossimilhança:
\begin{equation}
\tilde{L}(\gamma,y) = \prod_i \prod_j f(p_{ij}, y)
\end{equation}
\pause 
$f(.)$ é a densidade de uma distribuição de Bernoulli. 

\begin{itemize}
\pause 
\item \textbf{Problema:} 
Estimativas de variância dos efeitos são subestimadas. 

\pause
\item \textbf{Uma solu\c{c}\~ao:} Reamostragem. Mas como fazer, pois 
os dados s\~ao espacialmente estruturados? 

\pause 
\item \textbf{Reamostragem via amostrador de Gibbs}\cite{gumpertz:97} :
Simular $y_{ij}$ condicionando ao \textit{status} das vizinhas, 
usando (\ref{eq:prob}) com $\gamma_1$ e $\gamma_2$ estimados 
para os dados observados.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bootstrap via \textit{Gibbs Sampler}}
 \begin{itemize}
 \item O algoritmo amostrador de Gibbs \'e utilizado para preservar o padrão espacial 
\pause 
 \item Gerar $B$ amostras e estimar a quantidade de interesse,
\pause
 \item Passos:  
   \begin{enumerate}
   \item Simular uma nova \textit{lattice}, uma planta por vez:
    \begin{itemize}
\pause
     \item Usar $\hat{\gamma}$ estimado nos dados observados,
     \item Condicionar no \textit{status} atual das vizinhas,
     \item Calcular a probabilidade de doen\c{c}a, 
     \item Simular \{0,1\} com a probabilidade estimada,
     \item Ir para pr\'oxima planta, aleatoriamente.
    \end{itemize}
\pause
   \item Obter a estimativa de $\gamma$ em cada {\it lattice} simulado,
   \item Repetir $B$ vezes.
   \end{enumerate}
 \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Modelos propostos}
  \begin{itemize}
  \item Modelo $m1$: 
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j}^t + y_{i+1,j}^t) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^t + y_{i,j+1}^t) \;;
\end{array}\]
\pause 
\item Modelo $m2$:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + 
  \gamma_1 (y_{i-1,j}^{t-1} + y_{i+1,j}^{t-1}) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^{t-1} + y_{i,j+1}^{t-1}) \;;
\end{array}\]
\pause
\item Modelo $m3$:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + 
  \gamma_1 (y_{i-1,j}^{t-1} + y_{i+1,j}^{t-1}) + 
  \gamma_2 (y_{i,j-1}^{t-1} + y_{i,j+1}^{t-1}) + \\ 
&&\gamma_3 (y_{i-1,j}^t + y_{i+1,j}^t) + 
  \gamma_4 (y_{i,j-1}^t + y_{i,j+1}^t) \;.
\end{array}
\]
 \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Resultados}
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{r|rr|rr|rr|rr}
\hline
& \multicolumn{2}{|c|}{Modelo $1$} & \multicolumn{2}{c|} {Modelo $2$} 
& \multicolumn{4}{c} {Modelo $3$}\\
\hline
 & & & & & \multicolumn{2}{|c|}{Temp Atual} & \multicolumn{2}{|c}{Temp Ant.} \\
\hline
 Av-Incid & $\hat{\gamma_1}$ & val p &
$\hat{\gamma_1}$ & val p & $\hat{\gamma_1}$ & val p & 
$\hat{\gamma_1}$ & val p  \\
\hline
1-0.15 & 0.392 & .045 & & & & & \\
2-0.17 & 0.642 & .002 & 0.358 & .014  & 0.417  & .046 & -0.034 & .435\\
3-0.22 & 0.707 & .000 & 0.441 & .001 & 1.027  & .000 & -0.506 & .004\\
4-0.24 & 0.609 & .000 & 0.639 & .000 & 0.916  & .000 & -0.239 & .060\\
5-0.26 & 0.654 & .000 & 0.618 & .000 & 0.390  & .016 & 0.243 & .024\\
6-0.28 & 0.626 & .000 & 0.595 & .000 & 0.887  & .000 & -0.245 & .031\\
7-0.32 & 0.640 & .000 & 0.582 & .000 & 0.544  & .001 & 0.097 & .196\\
8-0.33 & 0.614 & .000 & 0.611 & .000 & 0.573  & .000 & 0.070 & .259\\
9-0.34 & 0.473 & .000 & 0.608 & .000 & 0.152  & .167 & 0.472 & .000\\
10-0.38 & 0.539 & .000 & 0.503 & .000 & 0.064 & .334 & 0.444 & .000\\ 
11-0.46 & 0.694 & .000 & 0.436 & .000 & 0.637 & .000 & -0.120 & .118\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{AIC}
\begin{itemize}
\item $m1$: Avaliações ($2$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$ e $11$);
\item $m2$: Avaliações $9$ e $10$,
\item $m3$: Avaliação $3$. 
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
\hline
 &  Modelo $1$ & Modelo $2$ & Modelo $3$ \\
\hline
2 & \textbf{725.55} & 726.76 & 727.54 \\
3 & 813.25 & 824.66 & \textbf{812.33} \\
4 & \textbf{851.58} & 858.66 & 853.08 \\
5 & \textbf{908.32} & 909.09 & 909.81 \\
6 & \textbf{932.52} & 936.61 & 934.17 \\
7 & \textbf{992.94} & 997.26 & 994.80 \\
8 & \textbf{1003.70} & 1004.79 & 1005.68 \\
9 & 1019.30 & \textbf{1018.58} & 1020.50 \\
10 & 1067.11 & \textbf{1064.87} & 1066.82 \\
11 & \textbf{1109.49} & 1121.87 & 1111.08 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Conclusões da análise}
  \begin{itemize}
   \item A dependência espacial é de curto alcance, pois o espaçamento 
  dentro da linha é de 4 metros e entre linhas é de 7,5 metros,
   \item A covari\'avel de vizinhan\c{c}a no tempo anterior foi significativa,
   \item H\'a colinearidade quando incluimos covari\'avel no tempo anterio e atual.
   \end{itemize}
 \end{frame} 

\bibliographystyle{./dcu}
\bibliography{../biblio} 

\end{document}
