\subsection{Exemplo com dados de processos pontuais}

Nesta seção nós utilizamos a SKATER para a análise 
agrupamentos em processos pontuais. 
Um processo pontual são as localizações da ocorrência 
de eventos em uma região, por exemplo, ocorrência de 
uma espécie de planta em uma região, casos de doença 
em uma cidade, etc.
 
Nosso objetivo é dividir a região em sub-regiões com 
incidência de casos similares. 
É trivial notar que quanto menor a incidência de 
casos numa região, maior a distância entre os casos. 
Portanto, se fazemos uma tesselagem de Voronoi, 
\cite{okabe:00}, a partir das localizações das 
ocorrências, temos que quanto menor a incidência de 
casos numa sub-região, maior a área de influência, 
dada pela tesselagem, dos pontos dentro dessa sub-região. 

Suponha que $y_i$ é a área de influência obtida pela 
tesselagem de Voronoi. Se em toda a região a incidência 
é a mesma, então é fácil estimar $E(y_i)$, por exemplo, 
dividindo a área total da região pelo número de casos. 
Mas se isso não ocorre, podemos utilizar a análise 
de agrupamentos para agrupar pontos com área de influência 
similar e estimar $E(y_i/i\in g_j)$, onde $g_j$, 
$j=1, ..., k$, são as $k$ sub-regiões homogêneas ou grupos. 

Nós podemos utilizar a SKATER para dividir uma região 
em sub-regiões homogêneas quanto à ocorrência de casos. 
Podemos considerar cada ponto como um nó do grafo e 
as arestas a adjacência entre as áreas de influência 
dos pontos obtidas pela tesselagem de Voronoi. 
Os dados será a área de influência de cada localização. 

Nós vamos considerar os dados de padrão pontual de
65 Pinheiros Japoneses, \cite{numata:61}, disponíveis no 
pacote \pkg{spatstat}. 

Inicialmente carregamos os dados, fazemos a tesselagem e 
obtemos a lista de vizinhança. 
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> require(spatstat)
> data(japanesepines)
> del <- deldir(japanesepines, rw = c(0, 1, 0, 1))
> d.area <- data.frame(del$summary)$dir.area
> nb.del <- tapply(c(del$dirs[, 5], del$dirs[, 6]), c(del$dirs[, 
+     6], del$dirs[, 5]), as.integer)
> class(nb.del) <- "nb"
\end{Sinput}
\end{Schunk}

A seguir, carregamos o pacote \pkg{spdep}, 
geramos a lista de custos, juntamos a lista de 
vizinhança com a lista de custos e obtemos a MST. 
No cálculo dos custos, nós utilizamos a distância 
euclidiana, que é proporcional a distância baseada 
na distribuição normal univariada. 
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> require(spdep)
> costs.a <- nbcosts(nb.del, d.area)
> nbw.a <- nb2listw(nb.del, costs.a, style = "B")
> mst.a <- mstree(nbw.a)
\end{Sinput}
\end{Schunk}

A medida de homogeneidade que utilizamos foi o 
negativo do logaritmo da verossimilhança, considerando 
distribuição normal. Nós consideramos que a variância 
é a mesma em toda a área e estimada a partir das 
áreas de todo o conjunto de 65 pontos. 
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> ldnorm <- function(x, id) -sum(dnorm(x[id], mean(x[id]), sd(d.area), 
+     log = TRUE))
\end{Sinput}
\end{Schunk}

Inicialmente nós dividimos a área em 5 sub-áreas. 
Com a soma da homogeneidade obtida a cada passo, 
nós calculamos o ganho em homogeneidade a cada passo, 
que são diferenças de log-verossimilhanças. 
Essas diferenças tem distribuição qui-quadrado, 
como vimos na Seção 2. 
Com a área dividida 3 grupos, o ganho na verossimilhança 
é aproximadamente 2.4 ao subdividi-la em 4 grupos. 
Considerando a distribuição qui-quadrado com 1 grau 
de liberdade, três grupos não serem suficientes 
(valor-p) é 0.22. Neste caso nós decidimos que três 
é o número de grupos adequado.
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> sk5.a <- skater(mst.a[, 1:2], d.area, 4, method = ldnorm)
> diff(sk5.a$ssw)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] -11.112478  -6.058635  -2.424631  -1.624751
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> sk3.a <- skater(mst.a[, 1:2], d.area, 2, method = ldnorm)
\end{Sinput}
\end{Schunk}
\begin{figure}
\centering

\setkeys{Gin}{width=0.7\textwidth}
\includegraphics{figs/fig-plotpp}
\label{fig:ppresult}
\caption{The points is the locations of 65 japanese pines at square. 
  The dashed lines are the Voronoi tesselation. 
  The continuous lines are the MST pruned and the two dotted 
  lines are the pruned edges of MST.}
\end{figure}

Observando a Figura~\ref{fig:ppresult}, nós observamos que 
há duas sub-regiões pequenas com áreas de influência maiores.
Uma ao sul e oeste da área com seis pontos e outra ao leste 
com três pontos. Ou seja, nessas duas sub-areas a incidência 
de ocorrências é significativamente menor que no restante 
da área, pelo teste de número de grupos.
