\subsection{Exemplo com dados de Poisson}

Muitos estudos tem por objetivo estudar e dados 
de ocorrência de doenças em distritos administrativos. 
A análise de agrupamentos é uma técnica que pode 
ser útil para definir políticas de controle de doenças. 
Nesta seção, nós exemplificamos a aplicação da função 
\code{skater()} para dados de Poisson utilizando uma 
medida de distância não implementada.

Para isso, nós definimos duas medidas baseadas em densidade 
de dissimilaridade para gerar a MST. Também definimos uma 
medida de homogeneidade para o segundo passo.

\subsubsection{Duas medidas baseadas em densidade no caso poisson}

Seja $f(\by_i | \hat{\theta_{J}}) = f(i|J)$ a densidade de 
$\by_i$ considerando $\hat{\theta_{J}}$ é a estimativa dos 
parâmetros da função de densidade usando as observações 
$\by_J$, em que $J$ é um conjunto de índices. 
Nós consideramos duas funções de dissimilaridade 
baseadas em $f(.|.)$. Suponha que temos as áreas $i$ 
e $j$, então temos $f(j|i)$ e $f(j|i,j)$. 
A primeira avalia a densidade de $\by_j$ usando 
$\hat{\theta_i}$ e a segunda usa $\hat{\theta_{i,j}}$. 
A primeira é uma densidade condicional e a segunda é conjunta. 
Porém, se nós temos observações nas áreas $r$ e $s$, 
$r$ vizinha de $s$, como comparar $f(j|i)$ com $f(r|s)$? 
Para que essas medidas sejam comparáveis, nós fazemos 
algumas considerações e definimos medidas padronizadas. 
Consideramos que $f(i|i)$ maximiza $f(.|i)$. 
Se nós temos a área $i$ e esta área tem dois vizinhos, 
as áreas $j$ e $k$. Suponha que $y_i$ e $y_j$ tem 
parâmetros iguais e $y_k$ tem parâmetros diferentes. 
Nós esperamos que $f(j|i)>f(k|i)$ e $f(j|i,j)>f(j|i,k)$. 

Seja
\begin{equation}
d_{i|j} = 1-\frac{f(i|j)}{max(f(.|j))}) \;,
\label{eq:dc}
\end{equation}
a densidade padronizada condicional ou medida 
\textit{condicional dissimilarity} - (CD) e seja 
\begin{equation}
d_{i,j} = 1-\frac{f(i|i,j)f(j|i,j)}{2max(f(.|i,j))}) \;,
\label{eq:dj}
\end{equation}
a densidade padronizada conjunta ou medida
\textit{joint dissimilarity} - (JD). 
Essa padronização faz com $d_{i,j}\in (0,1)$ e 
$d_{i|j} \in (0,1)$. 
$d_{i,j}=0$ se $f(i|j)=f(j|j)$ e $d_{i,j}=1$ se $f(i|j)=0$. 
O mesmo para $d_{i|j}$.

Agora, vamos obter $max\{f(.|i,j)\}$ e $max\{f(.|j)\}$ 
e fazer a padronização em $d_{i|j}$. 
Então precisamos encontrar 
$$ max_{y'}\{\lambda^{y'}e^{-\lambda}/(y^{'}!)\;.$$
Derivando em relação a $y'$ e igualando a zero não 
obtemos uma expressão fechada. Mas podemos ver na 
figura~\ref{fig:dpois} que o máximo é zero se 
$\lambda_i < 0.5$ e se aproxima de $\lambda_i-0.5$ 
se $\lambda_i$ cresce. 

\begin{figure}[!htp]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{figs/maximoypoisson}
\caption{Nos 7 primeiros gráficos (três superiores, três 
ao meio e um abaixo), temos a densidade da função de 
probabilidade de Poisson para alguns valores de $\lambda$. 
A linha contínua vertical corresponde ao $\lambda-0.5$ e a 
linha tracejada está no valor que tem a maior probabilidade. 
Os dois últimos gráficos mostram a diferença entre 
$\lambda$ e o valor que maximiza a função de probabilidade 
de Poisson, para valores pequenos de $\lambda$ (gráfico na 
coluna central) e para valores grandes de $\lambda$ 
(gráfico na coluna à direita).}
\label{fig:dpois}       % Give a unique label
\end{figure}

Agora, nós definimos uma medida de homogeneidade para 
os grupos. Vamos considerar o caso em que temos 
uma função de densidade $f(i|I)$ a ser avaliada em 
$\by_i$ o vetor de observações da área $i$ com 
parâmetros estimados a partir das observações 
das áreas $I$, $\by_I$, e $I$ é um conjunto de índices. 
Considereamos também que $l(i|I) = log(f(i|I))$. 
Suponha que o grupo $j$ contém as áreas $I$. Seja 
$\hat{\theta_J}$ os parâmetros estimados 
com as observações $\by_{J}$. 
Seja 
\begin{equation}
H(j)=\sum_{i\in I}-l(i|I) \;.
\end{equation}
Essa medida é uma função de deviance. 
Lembramos que se nós dividimos o grupo $j$ em dois 
grupos, $j'$ e $j''$, então $H(j')+H(j'') < H(j)$. 
Além disso, essa diferença de deviance tem distribuição 
assintótica $\chi^2_p$, onde $p$ é o número de 
variáveis em $\by$. 
Esse fato pode ser utilizado como um critério de parada 
da divisão sucessiva de grupos no passo 2 do 
procedimento SKATER. 

\subsection{Exemplo}
\input{tex/scriptpoisson.tex}

\subsection{Avaliação empírica do SKATER no caso Poisson univariado}
\label{sec:evalpois}

Suponha que $y_i$ é a realização de uma variável de Poisson 
na área $i$ com população $P_i$. Então nós adotamos que 
$\by_i \sim Poisson(\lambda_i P_i)$. 
Para avaliar o procedimento SKATER para a análise 
de cluster espacial nesse caso, nós tomamos os 
107 municípios da macroregião de Belo Horizonte, 
a capital do estado de Minas Gerais, no Brasil.

Nós definimos cinco grupos com os seguintes valores de $\lambda$. 
O grupo 1 ao norte com $\lambda_1=0.003$ e nove municípios, 
o grupo 2 ao sul com $\lambda_2=0.003$ e 25 municípios, 
o grupo 3 ao leste com $\lambda_3=0.002$ e 21 municípios, 
o grupo 4 ao oeste com $\lambda_3=0.002$ e 17 municípios 
e o grupo 5 ao centro da região com  $\lambda_5=0.001$ e 
33 municípios. Esses grupos são mostrados no mapa da 
esquerda da figura~\ref{fig:bhgroups}.
 
\setkeys{Gin}{width=0.99\textwidth}
 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{figs/testpois-bhmap}
\caption{Groups defined for simulation study (left), 
the groups defined by SKATER with CD measure (center) 
and the groups defined by SKATER with JD measure (right)}
\label{fig:bhgroups}
\end{figure}

Na figura \ref{fig:bhgroups} nós mostramos os grupos 
definidos (esquerda) e os resultados do SKATER com 
um conjunto de dados simulados baseado na MST construida 
com as medidas CD (centro) e JD (direita). 
Adicionalmente, nós mostramos a MST gerada com as respectivas 
medidas de dissimilaridade. 
As cores nas figuras são os grupos definidos (esquerda) e
encontrados pelo SKATER com as MST encontradas por 
ambas as medidas (centro e direita). O critério de 
parada adotado foi até que cinco grupos foram obtidos. 
Então é necessário ter uma boa medida de dissimilaridade 
e gerar uma MST adequada.
Olhando para esses resultados, notamos que os grupos 
encontrados estão fortemente associados à MST gerada. 
Será que um resultado melhor teria sido obtido 
com seis grupos?

É fácil avaliar a significância de gerar mais um grupo.
Seja $SH_i$ a soma de $H(.)$ obtida no passo 
$i-1$ onde temos $i$ grupos, $SH_1$ é $H(.)$ obtida 
considerando que todas as áreas pertencem ao mesmo grupo. 
Também seja $DSH_i = SH_{i+1}-SH_i$ a diferença de 
soma de homogeneidades. Neste caso $DSH_i\sim \chi^2(1)$ 
sob hipótese de que a redução de soma de homogeneidade 
não é significativa. 

Nós realizamos um pequeno e simples estudo de simulação 
para avaliar as medidas CD e JC. Com os cinco grupos 
definidos anteriormente, nós geramos 1000 conjuntos 
de dados e executamos o SKATER com critério de parada 
até que 10 grupos foram encontrados. 
A cada número de grupos encontrados $(2, ..., 10)$, 
nós calculamos $SH$, avaliamos a significância de 
$DSH_i$ e comparamos os grupos encontrados com os grupos 
verdadeiros. Para essa comparação, nós fizemos uma 
tabela cruzada do vetor indicador de grupo gerado 
como o vetor indicador dos grupos verdadeiros.
Uma medida adequada nesse caso é a estatística 
$\kappa$, que mede a concordância entre dois 
classificações. 
A tabela de freqüências geradas entre os dois vetores de 
identificadores precisa ser ajustada. Primeiro porque 
o rótulo definido do grupo verdadeiro pode não ser 
o mesmo que o rotulado pelo SKATER. Neste caso nós 
trocamos os rótulos de forma que o grupo obtido 
pelo SKATER que teve a maior freqüência relativa 
de municípios do primeiro grupo verdadeiro seja 
rotulado também como número 1, e assim também 
para os demais grupos. No caso em que o número 
de grupos obtidos é diferente de 5, nós completamos 
a tabela de contingência com colunas ou linhas 
de zeros. 

\setkeys{Gin}{width=0.99\textwidth}
 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{figs/testpois-resim.eps}
\caption{Homogeneity function sum by number of groups (left) 
and kappa statistic by number of groups (right). 
The dashed lines are results obtained by $CD$ measure and 
the dotted lines for $JD$ measure. The more larges lines 
are for median and minus larges for percentiles of 
2.5\% and 97.5\%.}
\label{fig:testpois}
\end{figure}

No gráfico à esquerda da figura~\ref{fig:testpois}, nós 
mostramos os resultados obtidos para $SH_i$, $i=1,...,10$. 
Nós plotamos a mediana e os quantis $0.025$ e $0.975$ de 
$SH_i$ em função de $i$.  
Notamos que $SH$ tem decaimento exponencial e notamos 
que $SH$ estabiliza após terem sido obtidos $5$ grupos, 
o que é um resultado esperado. 
Notamos também que $SH$ considerando a MST obtida 
com CD tem um decaimento mais lento. 
Comparando $DSH_i$ com o valor $3.84$, nós avaliamos 
se o $DSH_i$ é significativo ao nível de 5\% de significância. 
Para a medida CD, em todas as simulações, $DSH_i$ foi 
significativo para $i<6$, significando que pelo menos 
$6$ grupos foi mais adequado para todos os conjuntos 
de dados simulados. 
Para i = 6, 7, 8 e 9, $DSH_i$ foi significativo em 
991, 961, 902 e 812 simulações respectivamente.
Considerando JD, $DSH_i$ foi significativo para todas 
as simulações para $i<4$, ou seja, quatro grupos 
ou mais foi significativo em todas as simulações. 
Neste caso, para i = 4, 5, 6, 7, 8 e 9, $DSH_i$ foi 
significativo em 995, 962, 877, 738, 543 e 377 
simulações respectivamente.
Esses resultados apontam que a medida JD é mais adequada 
que CD. 

Nós mostramos os resultados obtidos para a estatística 
$\kappa$ no gráfico da direita da figura~\ref{fig:testpois}. 
Notamos que os valores mais altos geralmente foram obtidos 
com $5$ grupos, o que era esperado. 
Notamos aqui também a superioridade da medida JD. 
Com essa medida, em mais da metade das simulações 
a concordância é maior que 60\% se forem obtidos 
3, 5 ou 6 grupos. 

