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 \unespjournalvolume{20}
 \unespjournalnumber{1}
 \unespjournalyear{2000}
 \unespjournalpages{1-10}
 \setcounter{page}{1}


\begin{document}

\title{Modelos gaussianos geoestatísticos espaço-temporais e aplicações}

\author{Alexandre Sousa da SILVA \thanks{{Departamento de Ciências Exatas,
Universidade de São Paulo - ESALQ/USP, CEP 13418-900 Piracicaba, SP,
Brasil.  E-mails: {\it assilva@esalaq.usp.br }}} \and Paulo
Justiniano RIBEIRO JUNIOR\thanks{Departamento de Estatística,
Universidade Federal do Paraná, CEP 81531-990 Curitiba, PR, Brasil.
E-mails: {\it paulojus@ufpr.br}}} \maketitle

\begin{resumo}
A especificação de funções de covariância espaço-temporais é uma das
possíveis estratégias para modelagem de processos dos quais
observações são tomadas em diferentes posições do espaço e do tempo.
Tais funções podem definir processos separáveis ou não separáveis e
na sua especificação deve-se garantir que são funções de covariância
 válidas atendendo a condição de serem positiva definidas.
Entre estratégias para obtenção de tais funções estão as de Cressie
e Huang (1999) e Gneiting (2002). A primeira se baseia na idéia de
obter funções em um espaço de dimensão aumentada a partir de funções
válidas no espaço original e necessita de operações no domínio da
freqüência. Alternativamente a segunda proposta utiliza combinação
de funções completamente monótonas e estritamente crescentes,
evitando inversão de representações espectrais. Há ainda poucos
relatos de uso e avaliações comparativas das diferentes propostas.
Neste trabalho considerou-se a metodologia proposta por Gneiting,
com diferentes valores do parâmetro que indica a força da interação
entre o espaço e o tempo. Diferentes modelos foram aplicados à dois
conjuntos de dados, um referente a estoques de peixe na costa de
Portugual, e outro referente à armazenagem de água em um solo com
citros. Utilizou-se a implementação no pacote \emph{RandomFields} do
programa R, revisando-se a metodologia e investigando-se a
implementação computacional. Na aplicação o modelo de covariância
separável se mostrou adequado para descrever o comportamento das
observações disponíveis sendo a escolha do modelo determinada por
ajustes de máxima verossimilhança.
\end{resumo}

\begin{palavra:chave}
Campos Aleatórios; Geoestatística; Modelos Espaço-Temporias; Pacote
\emph{RandomFields}
\end{palavra:chave}

\section{Introdução}
Dados espaço-temporais são caracterizados pela variabilidade no
tempo e no espaço, e o objetivo da análise estatística deste tipo de
dado está em descrever a incerteza não somente sobre as estimativas
das quantidades de interesse mas, também, estimar valores em locais
e/ou tempos não amostrados. Na literatura estatística existe um
grande número de publicações referentes a processos puramente
espaciais ou puramente temporais, e mais recentemente começam a ser
apresentadas propostas para modelagem conjunta no espaço e tempo.
Esta análise conjunta é o interesse dos modelos espaço-temporais.

Modelos espaço-temporais têm ganho uma crescente popularidade na
última década, o que pode ser explicado por um lado pela numerosa
aplicabilidade, principalmente em ciências ambientais e da saúde; e
por outro lado pelo crescente desenvolvimento de recursos
computacionais.

Gneiting e Schlather (2002), em uma revisão sobre estratégias de
modelagem, consideram duas possíveis abordagens para a modelagem
espaço-temporal: a abordagem geoestatística e a abordagem baseada em
modelos.

Na abordagem geoestatística, geralmente considerada para campos
aleatórios gaussianos, em que o processo é totalmente especificado
pelo vetor de médias e a matriz de covariância. Em geral o vetor de
médias é facilmente especificado a partir de informações
contextuais, isto não acontece com a matriz de covariância, que é o
componente chave desta metodologia. Entretanto, nesta abordagem,
esta matriz possui elementos dados por uma função de covariância
válida, que assegure a condição de matriz positiva definida.

Na abordagem baseada em modelos é enfatizada a adoção de modelos
estocásticos e nesta metodologia a função de covariância não é a
única estrutura utilizada para especificar o modelo, sendo assim,
este método pode ir de uma função analítica simples a uma função
intratável e somente implicitamente induzida pelo modelo adotado.
Neste contexto incluí-se os modelos Bayesianos flexíveis, dinâmicos
e/ou homogêneos e métodos baseados na técnica do filtro de Kalman.

Neste trabalho será considerado a abordagem geoestatística, para
campos aleatórios espaço-temporais gaussianos. Uma forma intuitiva
de produzir modelos válidos para a função de covariância
espaço-temporal é através da combinação de funções válidas puramente
espacial e puramente temporal. Uma propriedade assegura que o
produto ou a soma de funções de covariâncias válidas tem como
resultado uma função de covariância válida. As funções de
covariância espaço-temporais obtidas desta forma são ditas
separáveis já que não contemplam a possibilidade de interação entre
o componente espacial e temporal. Por isso, em geral não são
realísticas já que assumem a independência dos processos espaciais e
temporais.

Alternativamente as funções de covariância espaço-temporais não
separáveis consideram a interação entre o componente espacial e
temporal, mas apresentam como grande desvantagem a dificuldade em se
construir funções de covariância que sejam válidas. Métodos
matemáticos sofisticados devem ser aplicados para garantir a
validade destas funções e em geral se valem do teorema de Bochener
(BOCHNER, 1959), que utiliza a representação espectral para garantir
a validade das funções de covariância espaço-temporais. Nesta linha,
Cressie e Huang (1999), Gneiting (2002) e Stein (2005), por exemplo,
propõem famílias de modelos de covariância não separáveis válidas
para processos espaço-temporais gaussianos.

\medskip

\section{Campos aleatórios}
Um campo aleatório ou uma função aleatória é um processo estocástico
definido no espaço $G\subset\textbf{R}^d$, ou seja, uma função cujos
valores são realizações de variáveis aleatórias em qualquer ponto do
domínio (SCHIMIDT; SANSÓ, 2006), ou em outras palavras, uma família
ou coleção de variáveis aleatórias, em que cada um dos seus membros
podem ser identificados ou localizados de acordo com a mesma métrica
(SCHABENBERGER; GOTWAY, 2005). Um campo aleatório é definido como:

\begin{equation}\label{equ:chave}
\{Z(\textbf{s}):\textbf{s}\in G \subset \textbf{R}^d \}\nonumber,
\end{equation}em que $Z(\textbf{s})$ é o valor do atributo $Z$ na
localização $\textbf{s}$ e $d\geq1$ é a dimensão do campo
aleatório.Segundo Schmidt e Sansó (2006) e Le e Zidek (2006), a
descrição de um campo aleatório é obtida através das distribuições
acumuladas finito-dimensionais $F$ se, para qualquer conjunto de
pontos nas localizações
$\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},...,\textbf{s}_{n}$ pertencentes à
região $G$ e qualquer inteiro n,

$F_{\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},...,\textbf{s}_n}(z_{1},z_{2},...,z_{n})\equiv
P\{Z(\textbf{s}_{1})\leq z_{1}, Z(\textbf{s}_{2})\leq
z_{2},...,Z(\textbf{s}_{n})\leq z_{n}\}$.

Um campo aleatório gaussiano corresponde ao caso particular em que
tais distribuições finito-dimensionais são gaussianas, ou seja, um
campo aleatório é gaussiano se a distribuição para qualquer conjunto
de índices $i=1,2,...,n$ é uma gaussiana n-variada.
Conseqüentemente, por propriedades da distribuição gaussiana
multivariada, cada $Z(\textbf{s}_{i})$ é uma variável aleatória
gaussiana univariada.

O processo gaussiano é particularmente importante na análise de
campos aleatórios, já que estes são completamente especificados pelo
vetor de médias e sua matriz de covariância (GNEITING; SCHLATHER,
2002). O vetor de médias é especificado pelo conhecimento de
covariáveis, isto é, efeitos fixos, que influenciam a variável de
interesse. A matriz de covariância precisa ser positiva definida
para ser considerada válida, para tanto cada um de seus elementos
devem ser dados por uma função de covariância que garanta a condição
de positiva definida. Entretanto determinar se esta função é
positiva definida é, em geral, não trivial. Uma forma freqüentemente
utilizada para verificar a validade de uma função de covariância é
verificar se a representação espectral desta função satisfaz o
teorema de Bochner (BOCHNER, 1959).

\medskip

\subsection{Propriedades da função de covariância}
A função de covariância $C(\textbf{h})$ de um campo aleatório
estacionário de segunda ordem deve satisfazer as seguintes
propriedades :\\
(i) $Cov[Z(\textbf{s}),Z(\textbf{s}+\textbf{0})]=Var[Z(\textbf{s})]=C(\textbf{0})\geq0;$\\
(ii) $C(\textbf{h})=C(\textbf{-h});$ \\
(iii) $C(\textbf{0})\geq\mid C(\textbf{h})\mid;$\\
(iv) $C(\textbf{h})=Cov[Z(\textbf{s}),Z(\textbf{s+h})]=Cov[Z(\textbf{0}),Z(\textbf{h})];$\\
(v) Se $C_{j}(\textbf{h})$ com $j=1,2,...,k$, são funções de
covariância válidas, então
$\sum^{k}_{j=1}\textbf{b}_{j}C_{j}(\textbf{h})$ é
uma função de covariância válida, se $\textbf{b}_{j}\geq 0 \forall j;$ \\
(vi) Se $C_{j}(\textbf{h})$ com $j=1,2,...,k$, são funções de
covariância válidas, então $\prod^{k}_{j=1}C_{j}(\textbf{h})$ é uma
função de covariância válida;\\
(vii) Se $C(\textbf{h})$ é uma função válida no $R^d$, então ela
também será uma função de covariância válida em $R^p$, com $p<d$.

De acordo com Schabenberger e Gotway (2005), as propriedades (i) e
(ii) são imediatas, a (iii) segue a forma da inequação de
Cauchy-Schwarz, a (iv) caracteriza a falta de importância da
coordenada absoluta, (v) assegura que combinações lineares de
funções de covariância válidas são também funções de covariância
válidas e (vi) assegura que o produto de funções de covariância
válidas tem como resultado uma função de covariância válida.

Em campos aleatórios espaço-temporais a propriedade (ii) nem sempre
é satisfeita, o que dá origem aos modelos de covariância
espaço-temporais assimétricos. Já as propriedades (v) e (vi) dão
suporte à construção de modelos de covariância espaço-temporais
separáveis.

A matriz de covariância para
$(Z(\textbf{s}_{1}),Z(\textbf{s}_{2}),...,Z(\textbf{s}_{n}))$,
denotada por $\Sigma$ com dimensão $n \times n$, será uma matriz
simétrica, em que $\Sigma_{ij}=C(\textbf{s}_{i}-\textbf{s}_{j})$, ou
seja, cada valor de $\Sigma$ é igual a covariância entre respostas
em duas localizações correspondentes. Para que uma função de
covariância de um campo aleatório estacionário seja considerada
válida  é necessário e suficiente que $C$ satisfaça a condição de
ser positiva definida, em outras palavras, para qualquer vetor não
zero $\textbf{a}$, a forma quadrática $\textbf{a}'\Sigma \textbf{a}$
deve ser maior igual a zero. Sendo assim esta condição pode ser
escrita nas seguintes formas:
\begin{eqnarray}
{\textbf{a}}'\Sigma
\textbf{a}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}\textbf{a}_{i}\textbf{a}_{j}C(\textbf{s}_{i}-\textbf{s}_{j})
\geq 0
=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}\textbf{a}_{i}\textbf{a}_{j}C(\textbf{h}_{ij})
\geq 0 \nonumber,
\end{eqnarray}
em que $\textbf{a}_{i}$ e $\textbf{a}_{j}$ são elementos do vetor
$\textbf{a}$ e $\textbf{h}_{ij}$ denota o vetor de separação entre
$\textbf{s}_{i}$ e $\textbf{s}_{j}$.

Uma ferramenta de uso comum para investigação da dependência
espacial em geoestatística é o semivariograma. Para campos
aleatórios intrinsecamente estacionários define-se
$2\gamma(\textbf{h})=E\{[\textbf{Z}(s_{i})-\textbf{Z}(s_{j})]^{2}\}$.
Portanto, uma estimativa empírica do semivariograma é dada pelo
estimador de momentos:
\begin{eqnarray}
{\hat{\gamma}( \textbf{h})=
\frac{1}{2|N(\textbf{h})|}\sum_{|N(\textbf{h})|}
\{Z(\textbf{s}_{i})-Z(\textbf{s}_{j})\}^{2}}\nonumber,
\end{eqnarray}
em que $|N(\textbf{h})|$ é a quantidade de pontos separados pela
distância $\textbf{h}$ de separação entre $s_{i}$ e $s_{j}$. De
acordo com Schabenberger e Gotway (2005), o estimador
$\hat{\gamma}(\textbf{h})$ é não viesado para $\gamma(\textbf{h})$
se $Z(\textbf{s})$ for intrinsecamente estacionário. No caso do
processo em que assume-se a estacionariedade de segunda ordem, o
variograma informa também sobre a função de correlação.

Isto justifica uma prática comum em geoestatística de se utilizar o
semivariograma empírico para inferir sobre parâmetros do modelo,
através do ajuste de uma função válida para o semivariograma
teórico.

Um outro paradigma para estimação de parâmetros, sob a pressuposição
de estacionariedade forte, é dado pelo método de máxima
verossimilhança. A estimação dos parâmetros de campos aleatórios
pelo método de máxima verossimilhança requer pressuposições sobre a
distribuição do processo. Dado
$\textbf{Z}=[Z(\textbf{s}_{1}),Z(\textbf{s}_{2}),...,Z(\textbf{s}_{n})]^{'}$,
que denota o vetor de observações e assumindo
$\textbf{Z}(\textbf{s})\sim G(\mu\textbf{1},\Sigma(\theta))$, o
método da máxima verossimilhança consiste em maximizar o logaritmo
da distribuição gaussiana n-variada:
\begin{equation}
L(\theta; Z_{1},Z_{2},...,Z_{n})=-\frac{1}{2}\{\ln(|\Sigma(\theta)|)
+ n \ln (2\pi)+(Z(\textbf{s})-\textbf{1}\mu)'
\Sigma(\theta)^{-1}(Z(\textbf{s})-\textbf{1}\mu)\}.
\end{equation}

Estimadores de máxima verossimilhança são muito utilizados em
estatística, por assegurarem uma série de propriedades, já que sobre
condição de regularidade padrão estes estimadores são
assintoticamente gaussianos e eficientes. Na prática, em
geoestatística, este método de estimação pode requerer muito tempo
computacional, ou até mesmo ser proibitivo, devido à dimensão da
matriz de covariância.

Diggle, Ribeiro e Christensen (2003) e Diggle e Ribeiro (2006)
discutem em detalhes métodos baseados na verossimilhança para
estimação de parâmetros do processos geoestatísticos espaciais,
incluindo métodos bayesianos.

\medskip

\subsection{Campos aleatórios Espaço-temporais}

Processos ambientais e geofísicos como concentração de poluentes,
precipitação e superfície do vento são exemplos de fenômenos que
podem ser modelados por campos aleatórios espaço-temporais ou
simplesmente processos espaço-temporais. Este tipo de processo é
caracterizado pela variabilidade na dimensão do espaço e do tempo.
De acordo com Schabenberger e Gotway (2005), para o estudo desta
variabilidade existem três possibilidades:

$\bullet$ análise espacial para cada processo temporal;

$\bullet$ análise temporal para cada processo espacial;

$\bullet$ análise espacial e temporal conjunta.

As duas primeiras possibilidades isolam a parte temporal ou a
espacial e aplica técnicas padrões para o tipo de processo
resultante. A terceira possibilidade considera o processo espacial e
temporal conjuntamente e é a considerada neste trabalho. No processo
de construção desta análise conjunta, a aplicação das técnicas
padrões no estudo da variabilidade espacial e temporal separadamente
pode ser utilizada como uma ferramenta exploratória e auxiliar na
construção de modelos adequados.

Um campo aleatório espaço-temporal é definido como
\begin{eqnarray}
\{Z(\textbf{s},t),\textbf{s} \in {R}^d, t \in R \}\nonumber,
\end{eqnarray}
em que  $Z(\textbf{s},t)$ é valor de atributo $Z$ no espaço
$\textbf{s} \in {R}^d$ e no tempo $t \in R $.

Através desta definição, percebe-se intuitivamente que o domínio
natural do processo é $R^{d}\times R$. Neste trabalho o componente
espacial será considerado bidimensional, ou seja, $d=2$, por ser a
situação comum na prática, entretanto ressalta-se que a dimensão do
processo pode ser qualquer número finito positivo.

Tempo e espaço podem não ser diretamente comparáveis, já que as
unidades das coordenadas dos dois processos apresentam grandezas
diferentes. Fisicamente existe uma clara diferença entre as
dimensões espaciais e temporais e os modelos precisam considerá-las.
Segundo Gneiting et. al (2006) funções de covariância ou mesmo a
krigagem se utilizam de espaços Euclidianos e são diretamente
aplicados à problemas espaço-temporais. Sendo assim a simples
separação vetorial do domínio espacial e temporal tem importantes
implicações.

De acordo com Gneiting e Schlather (2002), na modelagem de processos
espaço-temporais duas formas para especificação do modelo podem ser
consideradas:

$\bullet$ \emph{Especificação geoestatística}. Nesta metodologia é
necessário o conhecimento de uma distribuição, geralmente gaussiana,
para função aleatória $Z(\textbf{s},t)$ que é definida em toda
coordenada espaço-temporal. A função de covariância é definida  na
dimensão espaço-temporal contínua, caracterizando o modelo da função
aleatória, que pode ser utilizada na predição de qualquer
localização espacial e qualquer instante de tempo. O ajuste da
função de covariância é de importância central nesta metodologia, e
portanto expressões com forma fechada para função de covariância são
essenciais.

$\bullet$ \emph{Especificação baseada em modelos}. Esta técnica
enfatiza a adoção de modelos estocásticos para solução de problemas
práticos nos quais a função de covariância não é especificada
explicitamente, mas sim induzida pelo modelo. Esta forma de
especificação espaço-temporal pode entretanto ir de uma função com
forma analítica simples até uma intratável e somente implicitamente
definida. Esta metodologia engloba desde modelos hierárquicos
bayesianos espaço-temporais até a técnica do filtro de Kalman, com a
característica de apresentar predições computacionalmente
eficientes.

A especificação geoestatística é conceitualmente simples,
particularmente quando combinado com a adoção do modelo gaussiano,
que é completamente especificado por sua média e estrutura de
covariância. Além disto, a krigagem, que geralmente é o objetivo da
análise de campos aleatórios, requer a especificação apropriada da
função de covariância. Entretanto esta forma de especificação assume
estacionariedade espaço-temporal da estrutura de covariância, que
portanto não pode assumir formas flexíveis como as induzidas pela
especificação baseada em modelos. Este trabalho será direcionado à
especificação geoestatística aplicada a processos espaço-temporais
gaussianos.

Assumindo as condições de regularidade do campo aleatório
espaço-temporal, $Var(Z(\textbf{s},t))<\infty$ para todo
$\textbf{s}\in\textbf{R}^2, t\geq 0$, (CRESSIE; HUANG, 1999),
define-se a média e a função de covariância por:
\begin{eqnarray}
\mu(\textbf{s},t)=E(Z(\textbf{s},t))\nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=C(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},t_{1},t_{2})\nonumber.
\end{eqnarray}

De acordo com Gneiting et.al (2006), na prática o interesse inicial
das análises é verificar a presença ou ausência de três
características: estacionariedade, simetria completa e
separabilidade. Após este estudo será possível decidir sobre a
complexidade da modelagem.

Um campo aleatório espaço-temporal é estacionário se sua esperança
não depende das coordenadas espaço-temporais e sua função de
covariância só dependa de um vetor de separação dos pontos em $R^{d}
\times R$. Portanto um campo aleatório espaço-temporal apresenta
covariância estacionária no espaço se
$Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1},\textbf{s}_{2},t_{2}))$ depende somente
do vetor de separação $\textbf{h}=\textbf{s}_{1}-\textbf{s}_{2}$, e
apresenta estacionariedade temporal se
$Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1},\textbf{s}_{2},t_{2}))$ depende somente
do vetor de separação $u=t_{1}-t_{2}$. Desta forma se o campo
aleatório espaço-temporal possui covariância estacionária espacial e
temporalmente, este é considerada uma covariância espaço-temporal
estacionária dada por:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=c(\textbf{h},u)\nonumber
\end{eqnarray}

O campo aleatório espaço-temporal apresenta simetria completa se
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
para todas as coordenadas espaço-temporais $\textbf{s}_{1},t_{1}$ e
$\textbf{s}_{2},t_{2}$ em $R^2\times R$. No caso da covariância ser
estacionária e completamente simétrica tem-se:
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)=C(\textbf{h},-u)=C(-\textbf{h},u)=C(-\textbf{h},-u),\nonumber
\end{eqnarray}
para todo $(\textbf{h},u)\in R^{2}\times R$.

A classe mais simples de funções de covariância espaço-temporal é
dada pelos modelos separáveis. Funções de covariância
espaço-temporais separáveis podem ser definidas com base nas
propriedades de aditividade e multiplicabilidade (2.1.1, vi e vii).
Desta forma poderão ser decompostas entre uma função de covariância
puramente espacial e outra puramente temporal, que no caso aditivo
pode ser escrita como:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))+ Cov (Z(t_{1},t_{2}))\nonumber
\end{eqnarray}
e no caso multiplicativo por:
\begin{equation}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))
Cov (Z(t_{1},t_{2})),
\end{equation}
em que em ambos os casos $\textbf{s}_{1},t_{1}$ e
$\textbf{s}_{2},t_{2} \in \textbf{R}^2\times\textbf{R}$ .

Esta classe de modelos de covariância espaço-temporal não considera
a interação entre o espaço e o tempo, mas é muito utilizada na
prática por ser computacionalmente tratável e uma forma intuitiva e
simples de obtenção de funções de covariância válidas.

Todos os modelos separáveis são também completamente simétricos.
Para a demonstração desta relação considere a eq.(2), considere
também as variáveis aleatória espaço-temporais
$Z(\textbf{s}_{1},t_{2})$ e $Z(\textbf{s}_{2},t_{1})$, a função de
covariância separável será dada por:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))Cov (Z(t_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
desta forma concluí-se que:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
que é a definição da propriedade de campos aleatórios
espaço-temporais completamente simétricos.

Um exemplo simples de função de covariância espaço-temporal
separável dado pela combinação de modelos de covariância
exponenciais é:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))= \sigma^{2}_{1}
exp(-A_{1}||(\textbf{s}_{1}-\textbf{s}_{2})||)+\sigma^{2}_{2}
exp(-A_{2}||(t_{1}-t_{2})||),\nonumber
\end{eqnarray}
em que $A_{1}$ e $A_{2}$ são as denominadas \textit{matrizes de
anisotropia}.

As matrizes de anisotropia são utilizadas para permitir a
representação combinada das dimensões espaciais e temporais. Neste
exemplo, suponha um processo isotrópico no espaço tem-se:

$$ A_{1} = \left(
\begin{array}{ccc}
 \phi_{1} & 0 & 0 \\
 0 &  \phi_{1}  & 0 \\
 0 &  0  & 0 \\
\end{array}
\right), \hspace{1cm} A_{2} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
 0 &  0  & 0 \\
 0 &  0  & \phi_{2} \\
\end{array}
\right)
$$

Qualquer função de covariância espaço-temporal que não for escrita
nas duas formas separáveis anteriormente mencionadas e nem
combinações destas, serão ditas funções não separáveis. As funções
de covariância separáveis, embora facilmente obtidas, são em geral
insatisfatórias para descrever processos naturais. O que gera à
necessidade de se especificar funções não separáveis. Kryriakidis e
Journel (1999), revisam e discutem abordagens para especificação de
processos geoestatísticos espaço-temporais. Cressie e Huang (1999),
propõem classes de funções de covariância não separáveis válidas
cuja obtenção não se baseiam no domínio das observações, mas sim no
domínio da freqüência, uma vez que a representação espectral e a
densidade espectral podem ser utilizadas para descrever as
propriedades do processo. Gneiting (2002), em uma abordagem
alternativa, obtém modelos válidos de função de covariância através
da definição de funções monótonas e positivas.
\medskip
\subsubsection{Representação de Gneiting}

A representação de Cressie e Huang (1999) constrói uma família de
funções de covariância espaço-temporais estacionária e não
separáveis através da inversão de Fourier na forma fechada, o que
restringe esta família a um pequeno grupo de funções com soluções de
forma fechada da inversão de Fourier. Gneiting (2002) propõe uma
flexível e elegante família de funções de covariância
espaço-temporais, cuja obtenção não requer operações no domínio
espectral. A construção de funções de covariância válidas se dá
através de componentes elementares em que sua validade é facilmente
verificada.

A representação de Gneiting (2002) considerara qualquer função
monótona $\phi(x)$, definida em $x\geq 0$ e qualquer função positiva
$\psi (x)$, definida em $x\geq 0$ com derivadas completamente
monótonas , e desta forma,
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)=\frac{\sigma^{2}}{(\psi(u)^{2})^{d/2}}\phi \Big
(\frac{||\textbf{h}||^{2}}{\psi(|u|^{2})}\Big)
\end{equation}
é uma função de covariância espaço-temporal válida em $R^{d}\times
R$, em que $\textbf{h}=||h||$, $u$ representa o vetor de distâncias
no tempo e $d$ deve ser maior ou igual que a genuína dimensão
espacial.

De acordo com Gneiting (2002) uma função contínua $\phi (x)$ é
completamente monótona se possui derivadas $\phi ^{(n)}$ de todos as
ordens e $(-1)^{n} \phi^{(n)} (x)\geq 0$, em que $x > 0,
n=0,1,2,\ldots$.

Assim, Gneiting propõe uma família de funções de covariância
espaço-temporal muito geral que não dependem da inversão de Fourier
na forma fechada e não necessita de integrabilidade. De acordo com
Elmatzoglou (2006) nesta família os componentes $\phi (x)$ e $\psi
(x)$ podem ser associados com a estrutura espacial e temporal
respectivamente. Gneiting (2002), apresenta possíveis escolhas para
cada função, que são reproduzidas nas Tabelas 1 e 2.

\def\tablename{Tabela}%
\begin{table}[!htb]
\caption{ Funções completamente monótonas $\phi(x)$,$x\geq 0$ }
\vspace*{0.2cm} \centering
\begin{tabular}{l} \hline\hline
$\phi(x)=exp(-cx^{\gamma}),c>0,0<\gamma\leq1$\\
$\phi(x)=(1+cx^{\gamma})^{\nu},c>0,0<\gamma\leq1,\nu>0$\\
$\phi(x)=(2^{\nu-1}\Gamma(\nu))^{-1}(cx^{1/2})^{\nu}\textbf{K}_{\nu}(cx^{1/2}),c>0,\nu
>0$\\
$\phi(x)=2^{\nu}(exp(cx^{1/2})+exp(-cx^{1/2}))^{\nu}, c>0,\nu>0$\\
\hline
\end{tabular}
\label{Tabe}
\end{table}

\def\tablename{Tabela}%
\begin{table}[!htb]
\caption{ Funções positivas $\psi(x)$, $x\geq 0$ } \vspace*{0.2cm}
\centering
\begin{tabular}{l} \hline\hline
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+1)^{\beta},a>0,0<\alpha\leq1,0\leq\beta\leq1$   \\
$\psi(x)=ln(ax^{\alpha}+b)/ln(b), a>0,b>1,0<\alpha\leq1$ \\
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+b)/(b(ax^{\alpha}+1)),a>0,0<b\leq1$\\
\hline
\end{tabular}
\label{Tabe}
\end{table}


Um exemplo simples da família de covariância espaço-temporal não
separável proposta por Gneiting é dada como segue:

Considere a primeira linha das Tabelas 1 e 2, em que
$\phi(x)=exp(-cx^{\gamma}),c>0,0<\gamma\leq1$ e
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+1)^{\beta},a>0,0<\alpha\leq1,0\leq\beta\leq1$
são funções completamente monótona e positiva respectivamente.
Substituindo na eq.(3) tem-se:
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(a|t|^{2\alpha}+1)^{\frac {\beta
d }{2}}}exp \Big\{ \frac {c
||\textbf{h}||^{2\gamma}}{(a|t|^{2\alpha}+1)^{\beta\gamma}}\Big\}.
\end{equation}

Nesta expressão, nota-se que para $\beta=0$ a covariância não
depende do tempo. Multiplicando-se a eq.(4) por uma função de
covariância puramente temporal,
$C(|t|)=(a|t|^{\alpha}+1)^{-\delta}$, tem-se como resultado:
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(a|t|^{2\alpha}+1)^{\delta +
\frac {\beta d }{2}}}exp \Big\{ \frac {c
||\textbf{h}||^{2\gamma}}{(a|t|^{2\alpha}+1)^{\beta\gamma}}\Big\},
\nonumber
\end{eqnarray}
no caso em que $\beta=0$, a expressão da função de covariância se
reduz a
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(a|t|^{2\alpha}+1)^{\delta }}exp
\{c||\textbf{h}||^{2\gamma}\} \nonumber
\end{eqnarray}
que é função de covariância separável na forma,
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)=\sigma^{2}C(u)C(\textbf{h})\nonumber
\end{eqnarray}
em que $C(u)=(a|t|^{2\alpha}+1)^{-\delta }$ é a função puramente
temporal, enquanto $C(\textbf{h})=exp \{c||\textbf{h}||^{2\gamma}\}$
é a função puramente espacial. Esta representação sugere que o
parâmetro $\beta$ pode ser utilizado para testar a hipótese de
separabilidade.

\medskip

\section{Resultados e discussão}

 Muitos modelos tem sido sugeridos na literatura e o fato de
terem sido adotados não significa necessariamente que estes
representem melhor a realidade. A escolha de uma determinada classe
de modelos é uma tarefa difícil e que requer um profundo
conhecimento da realidade, por parte dos pesquisadores.

Neste trabalho, o interesse não é ajustar o melhor modelo e sim
verificar o comportamento de alguns dos modelos discutidos no
capítulo anterior. Para tanto, será considerado um conjunto
referente a capacidade de armazenagem de água em um solo com citros.

A água é um dos mais importantes fatores para o adequado
desenvolvimento de qualquer cultura agrícola e o conhecimento da sua
dinâmica no solo é indispensável para o aprimoramento de práticas de
manejo que visam à otimização da produtividade da cultura (MORETI,
2006).

Moreti (2006) fornece um estudo da capacidade de armazenagem de água
em um Latossolo Vermelho Amarelo Argissólico cultivado com citros,
em uma parcela experimental na qual foram coletados dados em duas
transeções com 20 pontos de observação cada, com espaçamento de 4,0
m entre os pontos amostrados e 7,0 m entre as transeções. Para
quantificar a armazenagem de água no solo foi instalado, em cada
ponto amostral, um tubo de acesso à sonda de nêutros até a
profundidade de 1,20 m, localizado no centro da distância entre duas
plantas ao longo da linha.

A cultura de citros foi implantada em março de 1991, e as amostras
foram coletadas de 2001 a 2004, totalizando 98 coletas de dados não
eqüidistantes no tempo. Neste trabalho utilizou-se dados de 25
momentos de tempo tomados um em cada quatro, aos quais ajustou-se
modelos espaço-temporais. A restrição de tomar apenas 25 dentre os
98 períodos de tempo visa contornar problemas computacioanais. Uma
vez que o objetivo aqui é investigar a metodologia de modelagem e
não fornecer resultados definitivos de análises destes dados.

\medskip
\subsubsection{ Construindo modelos de covariância espaço-temporais }

Tem-se a seguinte função de covariância espaço-temporal separável
ajustada, com os parâmetros estimados pelo método da máxima
verossimilhança:
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)=\frac{44.12}{(0.76 |u|^{1.65}+1)^{0.08}} exp \{
-0.001 ||\textbf{h}||^{0.85} \} +  \frac{0.25}{(0.76
|u|^{1.65}+1)^{0.08}}.
\end{equation}

Já para a função de covariância espaço-temporal não separável, com
os parâmetros também estimados pelo método de máxima
verossimilhança, tem-se que o modelo ajustado é dado por:
\begin{eqnarray}
 C(\textbf{h},u)=\frac{1}{(0.76
|u|^{1.65}+1)^{0.12}}\Big(\frac{44.12}{(0.76
|u|^{3.3}+1)^{0.04}} \nonumber \\
exp \Big\{ -0.001 \Big[ \frac{||\textbf{h}||}{(0.76
|u|^{3.3}+1)^{0.04}}\Big]^{1.65} \Big\} \Big)+ \frac{0.25}{(0.76
|u|^{1.65}+1)^{0.08}}.
\end{eqnarray}

A distinção entre os dois modelos ajustados anteriormente é dada
pelo parâmetro $\beta$ que determina se existe ou não interação
entre os componentes puramente espacial e puramente temporal, ou
seja, se a correlação espacial independe do tempo e vice-versa.
Então o valor do parâmetro $\beta$ pode ser visto como o grau de
interação espaço-temporal, em que valores grandes, próximos de 1,
induz em um forte efeito de interação espaço-temporal, enquanto que
valores pequenos, próximo de 0, induz em um efeito fraco de
interação espaço-temporal. Isto sugere uma forma de testar a
separabilidade da função de covariância, além de quantificar a
intensidade da interação espaço-temporal.

O valor estimado para o parâmetro $\beta=0.04$ é muito próximo de
zero, o que indica que o modelos separável se ajustaria bem aos
dados, em outras palavras, não há evidência clara de interação entre
o espaço e o tempo. Ressaltando aqui novamente que a estimação deste
parâmetro pode ser numericamente instáveis e em uma análise
detalhada destes dados, métodos numéricos devem ser cuidadosamente
calibrados.

Para verificar o efeito da suposição de separabilidade
espaço-temporal foi considerado também o erro médio de predição,
para tanto foi realizada a krigagem simples para diferentes valores
de $\beta$. Os valores preditos para o tempo 26 foram comparados com
os verdadeiros valores observados para este tempo. A Figura 1,
ilustra estas predições e por este gráfico percebe que o modelo com
$\beta=0$ é o que mais se aproxima do valor real e ainda percebe-se
que o aumento do valor de $\beta$, causa um diminuição na média e na
variância. A Tabela 3 apresenta os erros quadráticos médios, a média
e variância da predição, e através dela é possível verificar que o
menor valor do erro quadrático médio ocorre quando $\beta=0$, ou
seja, o modelo separável é o mais indicado para o conjunto de dados
considerado.

Na Figura 2, são ilustrados os mapas de krigagem simples com
parâmetros $\beta = 0, 0.25, 0.95$. As predições foram realizados
para o tempo 26, que não foi considerado na estimação. Estas imagens
ilustram uma pequena diferença no comportamento das "manchas", mas
uma diferença um pouco maior nas escalas. Através das legendas
percebe a clara diminuição do valor médio considerado.

\begin{table}
\caption{ Erro quadrático médio de predição para funções de
covariância espaço-temporais com diferentes valores do parâmetro
$\beta$ }
\[ \begin{tabular}{l|l|l|l} \hline
  & EQM & Média &Variância   \\
\hline
Modelo separável $\beta=0$ & 5.561 & 17.114 & 0.753\\
Modelo não separável $\beta=0.25$ & 12.674 & 15.913 & 0.494\\
Modelo não separável $\beta=0.5$ &  26.060 & 14.371 & 0.309\\
Modelo não separável $\beta=0.75$ & 45.661 & 12.720 & 0.191\\
Modelo não separável $\beta=0.95$ & 64.436 & 11.451 & 0.132\\
\hline
\end{tabular}\]
\end{table}


\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
\includegraphics{predD.pdf}
\caption {Distribuição das predições para o tempo 26 e do verdadeiro
valor amostrado}
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
\includegraphics{krig1D.pdf}
\end{center}
\caption {Krigagem para modelo com $\beta=0$, $\beta=0.25$,
$\beta=0.95$,respectivamente}
\end{figure}

\medskip
{\noindent \bf \large Considerações Finais} \vspace{.5cm}

Processos ambientais e geofísicos como concentração de poluentes,
campos de precipitação e superfície do vento são caracterizados pela
variabilidade contínua no espaço e no tempo. Tais campos
espaço-temporais são geralmente tratados como aleatórios, uma vez
que as leis que governam seu comportamento não são completamente
compreendidas e sua complexidade não segue uma descrição
determinística precisa. Modelos estocásticos, por sua vez, são
baseados tipicamente em um pequeno número de parâmetros que podem
ser modelados e inferidos a partir de observações parciais dos
processos.

O objetivo da modelagem de tais processos é informar sobre padrões
do comportamento espaço-temporal. Parte-se do princípio de que não
existe um modelo que se ajuste perfeitamente aos dados e o que
ocorre, é que alguns modelos são mais capazes, que outros, de
descrever certas situações. Através da modelagem é possível resumir
de forma simples um conjunto de dados complexo, testar hipóteses
cientificamente relevantes e fazer predições dos processos em
posições não observadas do espaço e/ou tempo.

Fenômenos espaciais e temporais são caracterizados por suas
unicidade e não reproducibilidade. Assumindo-se então que é uma
amostra parcial simples da realização de um particular mecanismo
estocástico. Conseqüentemente, inferências só podem ser feitas a
partir da adoção de simplificações e suposições. A princípio a
estratégia de análise espaço-temporal apresentada aqui poderiam ser
utilizadas simplesmente como uma extensão da análise puramente
espacial, pois simplesmente acrescenta uma dimensão referente ao
tempo. Entretanto, a diferença física entre espaço e tempo e a
ordenação natural dos tempos induzem características particulares e
dificuldades adicionais.

O tempo e o espaço são duas noções completamente diferentes, o que
dificulta a especificação de funções de covariância espaço-temporais
válidas. Além disso estas precisam satisfazer certas condições para
serem consideradas válidas. Uma especificação muito comum para a
função de covariância espaço-temporal é assegurada por propriedades
que dão suporte à família de funções de covariância separáveis.
Estas podem ser separadas através da soma e/ou produto de funções de
covariância válidas. A grande desvantagem deste método é que ele não
considera na modelagem a interação entre o espaço e o tempo.

Uma alternativa às funções de covariância separáveis são as funções
de covariância espaço-temporais não separáveis e neste caso a
interação entre o espaço e o tempo é considerada na modelagem. Na
literatura existem algumas possibilidades de funções não separável,
no presente trabalho foram consideradas a especificação de Cressie e
Huang e a família de Gneting.

A especificação de Cressie e Huang se baseia na análise da integral
de Fourier o que requer operações utilizando representação Espectral
da função de covariância e a inversão de volta do domínio da
frequência com o das observações só é obtida em casos particulares.
As funções de covariância espaço-temporais propostas por Gneting
consideram a combinação de funções completamente monótonas e
estritamente crescentes que asseguram funções de covariância
válidas.

Nas aplicações deste trabalho foram consideradas funções de
covariância espaço-temporais pertencente à família de Gneiting,
estacionárias e completamente simétricas, que são uma escolha
conveniente, visto que esta especificação não requer qualquer tipo
de integrabilidade e possui implementação disponível no pacote
RandomFields.

Para os dois conjuntos de dados foi ajustado inicialmente um modelo
com estrutura de covariância separável, composta pelo produto entre
uma função \emph{cauchy generalizada}, para o componente puramente
temporal, e uma função \emph{stable}, para o componente espacial.
Ainda para a covariância separável foi adicionado um efeito pepita
composto pelo produto entre uma constante e uma função \emph{cauchy
generalizada}. Depois de estimados todos os valores para os
parâmetros do modelo separável, foi ajustado um modelo de
covariância não separável mas com a mesma estrutura de anisotropia
estimada para o modelo separável. O modelo não separável considerado
é composto pelo produto entre uma função de covariância \emph{cauchy
generalizada}, que depende apenas do tempo, e uma função não
separável proposta por Gneiting, que depende do tempo e do espaço
conjuntamente. Para o efeito pepita foi considerada a mesma
estrutura estimada para o modelo separável. É importante ressaltar
que o modelo separável proposto é uma caso particular do modelo não
separável, quando o parâmetro $\beta=0$.

A utilização de conjunto de dados reais levantou dificuldades
práticas na condução das análises. A primeira dificuldade foi a
depuração das linhas de comandos do pacote "\emph{RandomFields}",
que ainda se encontra em desenvolvimento e poucas são as publicações
que se utilização deste software, um outro grande problema
relacionado à parte computacional é a demanda por computadores com
grande capacidade de memória e processamento, já que o número de
observações para análise espaço-temporal cresce muito rapidamente
com o aumento de obsevações na coordenada do tempo ou no espaço.

Para a análise do conjunto de dados foram considerados os mesmos
pontos em todos os tempos, sendo isto uma obrigatoriedade da
implementação disponível no pacote, já que não existe a
possibilidade de se especificar coordenadas diferentes para cada
tempo. Por conta destas limitações, algumas observações tiveram de
ser descartadas da estimação e predição.


Foram encontradas dificuldades na estimação do parâmetro $\beta$ da
função de covariância proposta por Gneiting, e portanto neste
trabalho foram considerados outras formas de assegurar a validade
dos valores estimados para este parâmetro. Na análise foi
encontradas estimativa do parâmetro $\beta$ próximas de zero,
apontando para uma fraca interação entre o espaço e o tempo.

Foi considerada na análise a predição de um tempo futuro e comparado
com o verdadeiro valor observado para este tempo. O interesse neste
caso foi verificar através do erro quadrático médio de predição a
validade do ajuste da função de covariância. Na Tabela 3  existe uma
grande diferença no erro quadrático médio, na média e na variância
de predição. Através desta tabela pode-se concluir que a estrutura
de covariância separável é a que mais se aproxima dos verdadeiros
valores observados, o que pode-se perceber também é a diminuição da
média e da variância de predição à medida que o valor do parâmetro
$\beta$ se aproxima de 1.

No desenvolvimento deste trabalho foram feitas ainda várias
simulações e análises que serviram para a melhor compreensão do
pacote. Em uma destas simulações foi estimado um campo
espaço-temporal com um determinado valor do parâmetro $\beta$, em
seguida foi realizada a estimação dos parâmetros, e verificou-se que
a estimativa de verossimilhança não se aproximou de forma
satisfatória do valor estimado. Estes resultados são preliminares, e
considera-se que estudos desta natureza devem ser efetuados de forma
mais detalhada e portanto optou-se por não reportar aqui os
resultados deste estudo de simulação. Uma condição que poderia ser
considerada é a realização de várias estimações e então seria
calculada a média das estimativas. Espera-se que a média dos
parâmetros estimados se aproxime do valor dos parâmetros simulados.
Com um número suficientemente grande de valores estimados pode-se
ter uma melhor idéia da variabilidade de cada parâmetro e com isto a
determinação de intervalos de confiança e cobertura poderiam ser
obtidos, assim como poderia se avaliar o impacto em predições.

Estas são apenas algumas entre as muitas possibilidades em se
aprofundar os estudos nesta área. Neste trabalho foi considerada
apenas um resumo das novas metodologias de análise espaço-temporal e
com o avanço computacional e o apelo prático desta metodologia fica
cada vez mais fácil de se descrever melhor as leis da natureza.
Modelos que utilizam a especificação da função de covariância,
embora promissores e com fácil interpretação intuitiva, apresentam
dificuldades e restrições para uso em dados reais. Estudos
complementares são ainda necessário para auxiliar na compreensão das
características de identificabilidade e aplicabilidade em situações
reais, bem como as exigências e restrições de implementação.

 \vspace{.5cm}

%Agradecimentos (se houverem)
{\noindent \bf \large Agradecimentos}\vspace{.5cm}

Este trabalho é parte da dissertação de mestrado do primeiro autor
do Departmento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba.\\

Agradeço a Dolorice Moreti e o Profº Dr. Paulo Leonel Libardi do
Departamento de Física de Solos, por ter gentilmente cedido os dados
da aplicação. \vspace{.5cm}

%citação do artigo
\info{SILVA, A. S.; RIBEIRO JUNIOR, P. J. Space-time geostatisticals
gaussian models and aplications. \textit{Rev. Mat. Estat.,} São
Paulo, v.xx, n.x, p.xx-xx, 2000.}
\medskip

\begin{abstract}
The specification of space-time covariance functions is one of the
possible strategies to model processes observed at different
locations and time points. Such functions can define separable and
non-separable processes and must attend the condition of
positive-definiteness. Among the strategies to obtain such valid
functions are the ones suggested by Cressie and Huang (1999) and by
Gneiting (2002). The former is based on the idea of obtaining valid
functions in a space of increased dimension from valid functions on
the primary dimension and requires operations in the frequency
domain. Alternatively, the latter combines increasing monotone
functions avoiding the inversion of spectral representations. There
are still few reports of usage and comparisons of the strategies.
This work follows Gneiting's proposals with different values for the
space-time interaction parameter. Models were applied for the
analysis of two real data sets, one about fish stocks in the
Portuguese coast and a second on soil water storage. The
implementation on the R package \textit{RandomFields} was used, with
methodology and computational implementation being reviewed. For
both case the separable model provided a satisfactory fit, based on
maximum likelihood estimation.
\end{abstract}

\begin{keyword}
Keywords: Random Fields; Geostatistic; Space-Time Models;
\emph{RandomFields} Package
\end{keyword}

\begin{thebibliography}{}
\bibitem[]{}

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\end{thebibliography}

%%% a ser usado pelo editor

\unespreceived{01.01.2005}

\unespapproved{01.01.2005}


\end{document}
