Diferenças

Aqui você vê as diferenças entre duas revisões dessa página.

--- disciplinas:ce227-2016-01:historico [2016/04/06 18:24] – paulojus
+++ disciplinas:ce227-2016-01:historico [2016/06/02 14:47] (atual) – paulojus
@@ Linha 27: / Linha 27: @@
 | 04/04 Seg |Inferência (bayesiana e não bayesiana) sobre o parâmetro variância de uma distribuição normal (com média fixa). Revisão conceitual e comparações. |{{:disciplinas:ce227:ce227-av01.pdf|arquivo discutido em aula}} | | |
 | 06/04 Qua |desenvolver análises análogas às vistas na última aula para algum outro modelo com 1 parâmetro (excluindo da binomial ou algum dos parâmetros da normal)   | | | |
+| 11/04 Seg |Discussão das análises feitas pelos participantes do curso. Modelos com mais de um parâmetro - ideais fundamentais. Distribuições posterioris marginais, conjuntas e condicionais. |Cap 4  do material do curso | | |
+| 13/04 Qua |Resumos da posteriori |Cap 5 do material do curso | |Preparar material para discussão sobre FBST |
+| 18/04 Seg |Predição Bayesiana |Cap 6 do material do curso | |[[#18/04|Ver abaixo]] |
+| 20/04 Qua |Testes FBST - parte 1/2 | | | |
+| 25/04 Seg |Testes FBST - parte 2/2 e revisão/dúvidas para prova | | | |
+| 27/04 Qua |1a prova | | | |
+| 02/05 Seg |Discussão da 1a prova | | | |
+| 04/05 Qua |Atividades dos alunos - revisão da prova | | | |
+| 09/05 Seg |Discussão da prova e detalhamento do problema da questão 5  | | |[[#09/05|Ver abaixo]] |
+| 11/05 Qua |Discussão Caps 7 e 8 do material | | |[[#11/05|Ver abaixo]] |
+| 16/05 Seg |Inferência Bayesiana utilizando o JAGS - instalação e exemplos | | |[[#16/05|Ver abaixo]] |
+| 18/05 Qua |Inferência Bayesiana utilizando o JAGS/INLA - mais exemplos | | |[[#18/05|Ver abaixo]] |
+| 23/05 Seg |Estudos (prof. em congresso) | | | |
+| 25/05 Qua |Estudos (prof. em congresso) | | | |
+| 31/05 Seg |Aplicação de inferência Bayesiana - erros e incertezas em estimação de vazão de uma bacia - Apres. Alana | | | |
+| 01/06 Qua |Fundamentos do INLA | | |[[#01/06|Ver abaixo]] |
 === 29/02 ===
 Manifestar uma opinião subjetiva sobre o parâmetro de uma distribuição binomial. (basear-se no contexto  de intenção de voto discutido em aula)
@@ Linha 42: / Linha 60: @@
 Propor e implementar algorítimos para discretização da posteriori e amostragem via métodos a rejeição e MCMC.
+=== 18/04 ===
+Considere o modelo de verossimilhança <latex>[Y|\mu, \sigma^2] \sim N(\theta, \sigma^2)</latex> e a priori <latex>\tau = 1/\sigma^2 \sim Ga(a, b)</latex>. Mostre como obter a densidade: \\ <latex>[Y|\theta, a, b] = \frac{\Gamma((n/2)+a)}{\pi^{n/2} \Gamma(a) (\sum_i (x_i - \theta)^2 + 2b)^{(n/2)+a}}</latex>. \\ Como este resultado pode ser interpretado?
+=== 09/05 ===
+  - Obter os resultados analíticos possíveis para o problema da questão 5 da prova (posteriori, constante de integração, aproximação quadrática, etc)
+  - Implementar os diferentes métodos para inferência baseada na posteriori (exata, aproximação normal, discretização, amostragem)
+=== 11/05 ===
+  - Derivar os expressões das condicionais completas no problema do ponto de mudança da Poisson (ex. do capitulo 8)
+  - Implementar o algorítmo de Gibbs para este exemplo.
+=== 16/05 ===
+Exemplos discutidos utilizando JAGS/rjags:
+  - Amostragem da normal <code R>
+## Simulando um conjunto de dados
+n <- 20
+x <- rnorm(n, 70, 5)
+## Exportar os dados (não é necessário) se utilizando o rjags
+#write.table(x,
+#            file = 'normal.data',
+#            row.names = FALSE,
+#            col.names = FALSE)
+## Especificação do modelo (deve ser exportada para um arquivo)
+cat( "model {
+	for (i in 1:n){
+		x[i] ~ dnorm(mu, tau)
+	}
+	mu ~ dnorm(0, 0.0001)
+	tau <- pow(sigma, -2)
+	sigma ~ dunif(0, 100)
+ }", file="normal.modelo"
+)
+## Carregando o pacotes rjags (pode-se ainda usar outros como runjags, R2jags etc)
+require(rjags)
+## Definindo valores iniciais. No caso três conjuntos porque iremos rodas 3 cadeias.
+## OBS: valores iniciais são dispensáveis neste exemplo
+inis <- list(list(mu=10, sigma=2),
+             list(mu=50, sigma=5),
+             list(mu=70, sigma=10))
+## O proximo comando prepara e " compila" o modelo e opções para o algorítmo
+jags <- jags.model('normal.modelo',
+                   data = list('x' = x, 'n' = n),
+                   n.chains = 3,
+                   inits = inis,
+                   n.adapt = 100)
+## Obtendo as amostras (diferentes opções, a última já prepara em formato para uso com o
+##  pacote ´coda´)
+#update(jags, 1000)
+#sam <- jags.samples(jags, c('mu', 'tau'), 1000)
+sam <- coda.samples(jags, c('mu', 'tau'), n.iter=10000, thin=10)
+## Visualizações e resultados
+par(mfrow=c(2,2))
+plot(sam)
+str(sam)
+summary(sam)
+HPDinterval(sam)
+</code>
+  - regressão linear simples<code R>
+## simulando dados
+n <- 20
+x <- sort(runif(n, 0, 20))
+epsilon <- rnorm(n, 0, 2.5)
+y <- 2 + 0.5*x + epsilon
+plot(y ~ x)
+lines(lm(y ~x))
+## especificando o modelo para o JAGS
+cat( "model {
+      	for (i in 1:n){
+		y[i] ~ dnorm(mu[i], tau)
+		mu[i] <- b0 + b1 * x[i]
+	}
+	b0 ~ dnorm(0, .0001)
+	b1 ~ dnorm(0, .0001)
+	tau <- pow(sigma, -2)
+	sigma ~ dunif(0, 100)
+}", file="reglin.modelo")
+## poderia-se redefinir o modelo acima com uma possível priori alternativa, por ex:
+## tau ~ dgamma(0.001, 0.001)
+## sigma2 <- 1/tau
+#write.table(data.frame(X = x, Y = y, Epsilon = epsilon),
+#            file = 'reglin.dados',
+#            row.names = FALSE,
+#            col.names = TRUE)
+require(rjags)
+## Valores iniciais (vamos rodar só duas cadeias neste exemplo)
+inis <- list(list(b0=0, b1=1, sigma=1),
+             list(b0=1, b1=0.5, sigma=2),
+             list(b0=2, b1=0.1, sigma=5))
+## Compilando modelo, dados e opções
+jags <- jags.model('reglin.modelo',
+                   data = list('x' = x,
+                               'y' = y,
+                               'n' = n),
+                   n.chains = 2,
+                   # inits=inits,
+                   n.adapt = 100)
+#update(jags, 1000)
+class(jags)
+## obtenção das amostras da posteriori ...
+## ... via rjags
+sam <- jags.samples(jags,
+                   c('b0', 'b1', 'sigma'),
+)
+class(sam)
+## ... ou via coda
+sam <- coda.samples(jags,
+             c('b0', 'b1', 'sigma'),
+)
+class(sam)
+str(sam)
+plot(sam)
+## Pode-se tb obter as distribuições preditivas correspondentes a cada observação
+sam <- coda.samples(jags,
+             c('b0', 'b1', 'sigma', "y"),
+)
+str(sam)
+int <- HPDinterval(sam)
+str(int)
+## complementar com gráficos, resumos, inferências de interesse, etc
+</code>
+  - Coeficiente de correlação  intraclasse <code R>
+## Dados simulados do modelo:
+## Y_{ij} \sim N(\mu_{i}, \sigma^2_y)
+##     mu_{i} = theta + b_{i}
+##     b_{i} \sim N(0, \sigma^2_b)
+## que, por ser normal (com ligação identidade)
+## pode ser escrito por:
+## Y_{ij} = \beta_0 + b_{i} + \epsilon_{ij}
+##
+## simulando dados:
+Ngr <-  25
+Nobs <- 10
+set.seed(12)
+sim <- data.frame(id  = Ngr*Nobs,
+                  gr  = rep(1:Ngr, each=Nobs),
+                  bs  = rep(rnorm(Ngr, m=0, sd=10), each=Nobs),
+                  eps = rnorm(Ngr*Nobs, m=0, sd=4)
+                  )
+sim <- transform(sim, y = 100 + bs + eps)
+sim
+## estimativas "naive"
+resumo <- function(x) c(media=mean(x), var=var(x), sd=sd(x), CV=100*sd(x)/mean(x))
+(sim.res <- aggregate(y~gr, FUN=resumo, data=sim))
+var(sim.res$y[,1])
+mean(sim.res$y[,2])
+mean(sim$y)
+## A seguir serão obtidas inferências de três formas diferentes:
+## - ajuste modelo de efeito aleatório (não bayesiano)
+## - ajuste via JAGS (inferência por simulação da posteriori)
+## - ajuste via INLA (inferência por aproximação da posteriori)
+##
+## Modelo de efeitos aleatórios
+##
+require(lme4)
+fit.lme <- lmer(y ~ 1|gr, data=sim)
+summary(fit.lme)
+ranef(fit.lme)
+coef(fit.lme)$gr - fixef(fit.lme)
+print(VarCorr(fit.lme), comp="Variance")
+## JAGS
+require(rjags)
+sim.lst <- as.list(sim[c("gr","y")])
+sim.lst$N <- nrow(sim)
+sim.lst$Ngr <- length(unique(sim$gr))
+mean(sim.lst$y)
+cat("model{
+    for(j in 1:N){
+        y[j] ~ dnorm(mu[gr[j]], tau.e)
+     }
+    for(i in 1:Ngr){
+        mu[i] ~ dnorm(theta, tau.b)
+    }
+    theta ~ dnorm(0, 1.0E-6)
+    tau.b ~ dgamma(0.001, 0.001)
+    sigma2.b <- 1/tau.b
+    tau.e ~ dgamma(0.001, 0.001)
+    sigma2.e <- 1/tau.e
+    cci <- sigma2.e/(sigma2.e+sigma2.b)
+}", file="sim.jags")
+sim.jags <- jags.model(file="sim.jags", data=sim.lst, n.chains=3, n.adapt=1000)
+## inits = ...
+fit.jags <- coda.samples(sim.jags, c("theta", "sigma2.b", "sigma2.e", "cci"), 10000, thin=10)
+summary(fit.jags)
+plot(fit.jags)
+##
+require(INLA)
+fit.inla <- inla(y ~ f(gr) , family="gaussian", data=sim)
+summary(fit.inla)
+sqrt(1/fit.inla$summary.hyperpar[,1])
+</code>
+<fs large>**Atividades propostas:**</fs>
+  - Complementar as análise acima com exploração dos resultados, obtenção de gráficos e resultados de interesse
+  - Ajustar o modelo acima aos dados de:\\ Julio M. Singer, Carmen Diva Saldiva de André, Clóvis de Araújo Peres\\ **Confiabilidade e Precisão na Estimação de Médias**\\ [[http://www.rbes.ibge.gov.br/images/doc/rbe_236_jan_jun2012.pdf|Revista Brasileira de Estatística, v73]], n. 236, jan./jun. 2012.
+  - Identificar e ajustar modelos (não bayesianos, bayesianos por simulação ou aproximados) para dados simulados da seguinte forma: <code R>
+set.seed(123456L)
+n <- 50
+m <- 10
+w <- rnorm(n, sd=1/3)
+u <- rnorm(m, sd=1/4)
+b0 <- 0
+b1 <- 1
+idx <- sample(1:m, n, replace=TRUE)
+y <- rpois(n, lambda = exp(b0 + b1 * w + u[idx]
+</code>
+=== 18/05 ===
+  - {{:disciplinas:ce227:changepointjags.r|Script R/JAGS para análise dos dados do Cap 8}} (changepoint Poisson)
+  - {{:disciplinas:ce227:ce227-av04.pdf|Arquivo com exemplos de modelos visto em aula}}
+  - Mais um exemplo de análise com efeitos aleatórios (serialmente) correlacionados<code R>
+##
+## Análise de conjunto de dados com INLA com efeitos aleatórios temporalmente correlacionados
+##
+require(INLA)
+##
+## Visualização dos dados
+##
+data(Tokyo)
+head(Tokyo)
+plot(y ~ time, data=Tokyo)
+## colocando na forma de proporção de dias com chuva
+plot(y/2 ~ time, data=Tokyo)
+##
+## 1. Modelo "Nulo": só intercepto
+## estimando a probabilidade de chuva como uma constante:
+fit.glm <- glm(cbind(y, n-y) ~ 1, family=binomial, data=Tokyo)
+abline(h=exp(coef(fit.glm))/(1+exp(coef(fit.glm))), col=2, lty=3, lwd=3)
+## ou então, como neste modelo todos os valores preditos são iguais bastaria fazer:
+abline(h=fitted(fit.glm)[1], col=2, lty=3, lwd=3)
+##
+## 2. Agora o mesmo modelo nulo anterior porém ajustado pelo INLA
+##
+modelo0 = y ~ 1
+fit0 <- inla(modelo0, data=Tokyo, family="binomial", Ntrials=n,
+             control.predictor=list(compute=TRUE))
+summary(fit0)
+fit0$summary.fitted.values
+with(fit0, matlines(summary.fitted.values[,c(1,3:6)], lty=c(1,2,2,2,3), col=2))
+##
+## 3. Modelo com probabilidades variando no tempo
+## através da inclusão de variável/processo latente
+## modelando o logito(probabilidade) como um efeito aleatório correlacionado no tempo
+## segundo um "random walk" cíclico de ordem 2
+modelo = y ~ 0 + f(time, model="rw2", cyclic=T, param=c(1, 0.0001))
+fit <- inla(modelo, data=Tokyo, family="binomial", Ntrials=n,
+            control.predictor=list(compute=TRUE))
+##
+names(fit)
+head(fit$summary.fitted.values)
+## sobrepondo ao gráfico dos dados (moda, mediana e média são praticamente indistinguíveis)
+with(fit, matlines(summary.fitted.values[,c(1,3:6)], lty=c(1,2,2,2,3), col=1))
+##
+## 4. Modelando usando GAM (generalised additive model)
+##
+require(mgcv)
+fit.gam <- gam(cbind(y, n-y) ~ s(time), family=binomial, data=Tokyo)
+names(fit.gam)
+fitted(fit.gam, se=T)
+pred.gam <- predict(fit.gam, type="response", se=T, newdata=Tokyo["time"])
+names(pred.gam)
+with(pred.gam, matlines(cbind(fit, fit+2*se.fit, fit-2*se.fit), lty=c(1,2,2), col=4))
+</code>
+=== 01/06 ===
+  - **INLA**
+    - {{:disciplinas:ce227:apresentacao-inla.pdf|INLA - idéias básicas}}
+    - [[https://www.math.ntnu.no/~ingelins/INLAmai09/Pres/talkHavard.pdf|Apresentação de H. Rue]]
+    - [[http://www.statistica.it/gianluca/Talks/INLA.pdf|Apresentação de Gianluca Baio]]
+    - [[https://arxiv.org/pdf/1604.00860v1.pdf|Artigo recente de revisão do INLA]] pelos seus desenvolvedores

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