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 ===== Conteúdos das Aulas =====
-^ ^^ B & M ^^ Online ^
 ^ Data ^ Conteúdo ^ Leitura ^ Exercícios ^ Tópico ^
 | 12/02 Qua |Teorema de Bayes: revisão, interpretações e  generalização. Expressão probabilística de informação subjetiva, estimação baseada nos dados, estimação combinando informação prévia (subjetiva) e dados. Exemplo Binomial-Beta | [[#12/02|Ver abaixo]] | [[#12/02|Ver abaixo]] |  |
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 | 04/04 Sex |Extensões e fundamentos do algorítmo de Gibbs. Gibbs metropolizado. Predição. Introdução do [[http:mcmc-jags.sourceforge.net|JAGS]] e rjags | | |[[#04/04|Ver abaixo]] |
 | 09/04 Qua |Inferência Bayesiana em modelos lineares generalizados (ex distribuição de Poisson). Introdução aos modelos de efeitos aleatórios - comparações com modelos de efeitos fixos e verossimilhança | | |[[#09/04|Ver abaixo]] |
+| 11/04 Sex |Modelos de efeitos aleatórios/hierárquicos e inferência Bayesiana. Algorítmos de inferência e INLA | | |[[#11/04|Ver abaixo]] |
+| 16/04 Qua |Avaliação semanal. Discussão da avaliação sobre modelos declarados em JAGS. Distribuições marginais <latex>[Y] = \int [Y|\theta][\theta] d\theta</latex> e interpretação. Exemplo: caso Poisson | |[[#16/04|Ver abaixo]] | |
+| 23/04 Qua |sem aula expositiva. Preparar e discutir [[#16/04|atividades propostas na última aula]]  para apresentação na próxima aula. | | | |
+| 25/04 Sex |Avaliação: apresentação das análises de dados correspondentes aos {{:disciplinas:ce227:ce227-av04.pdf|modelos da quarta avaliação semanal}}  | | | |
+| 30/04 Sex |continuação das apresentações e discussões  | | | |
+| 07/05 Qua |Modelos para efeitos aleatórios dependentes. Estrutura do modelo, comparação com outras estratégias/modelos. Exemplo: série temporal para dados binários.  | | |[[#07/05|Ver abaixo]] |
+| 09/05 Sex |Fundamentos do INLA | | |{{:disciplinas:ce227:apresentacao-inla.pdf|Apresentação}} |
+| 14/05 Sex |Fundamentos do INLA - II - Comentários sobre a (excelente!) apresentação de Gianluca Baio | | |[[http://www.statistica.it/gianluca/Talks/INLA.pdf|A apresentação]] |
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   * Incluir bandas de predição usuais e bayesianas no gráfico
   * Generalizar código para família de priori Normal-GammaInversa
-  * Verificar o efeito/sensitividade à espeficicação das prioris
+  * Verificar o efeito/sensitividade à especificação das prioris
 **Exemplos JAGS/rjags**
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 === 09/04 ===
-  - Fazer uma análise Bayesiana de uma regressão de Poisson e comparar com resultados de um MLG (modelo linear generalizado) usual
+  - Fazer uma análise Bayesiana de uma regressão de Poisson e comparar com resultados de um MLG (modelo linear generalizado) usual. Utilize um conjunto de dados qualquer da literatura (sugestão: conjunto ''gala'' do pacote "faraway")
   - Use os dados do artigo //Confiabilidade e Precisão na Estimação de Médias// de Singer et al na [[http://www.rbes.ibge.gov.br/c/document_library/get_file?uuid=007b1342-7715-4539-9a26-e53cd9dc220b&groupId=37690208|Revista Brasileira de Estatística, v73, n. 236, jan./jun 2012]] e:
     - ajuste um modelo "ingênuo" de média e resíduo
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     - ajuste um modelo Bayesiano.
 Compare e discuta os resultados.
+=== 11/04 ===
+<code R>
+##
+## Dados simulados do modelo:
+## Y_{ij} \sim N(\mu_{i}, \sigma^2_y)
+##     mu_{i} = theta + b_{i}
+##     b_{i} \sim N(0, \sigma^2_b)
+## que, por ser normal (com ligação identidade)
+## pode ser escrito por:
+## Y_{ij} = \beta_0 + b_{i} + \epsilon_{ij}
+##
+Ngr <-  25
+Nobs <- 10
+set.seed(12)
+sim <- data.frame(id  = Ngr*Nobs,
+                  gr  = rep(1:Ngr, each=Nobs),
+                  bs  = rep(rnorm(Ngr, m=0, sd=10), each=Nobs),
+                  eps = rnorm(Ngr*Nobs, m=0, sd=4)
+                  )
+sim <- transform(sim, y = 100 + bs + eps)
+sim
+## estimativas "naive"
+resumo <- function(x) c(media=mean(x), var=var(x), sd=sd(x), CV=100*sd(x)/mean(x))
+(sim.res <- aggregate(y~gr, FUN=resumo, data=sim))
+var(sim.res$y[,1])
+mean(sim.res$y[,2])
+mean(sim$y)
+## Modelo de efeitos aleatórios
+require(lme4)
+fit.lme <- lmer(y ~ 1|gr, data=sim)
+summary(fit.lme)
+ranef(fit.lme)
+coef(fit.lme)$gr - fixef(fit.lme)
+print(VarCorr(fit.lme), comp="Variance")
+## JAGS
+require(rjags)
+sim.lst <- as.list(sim[c("gr","y")])
+sim.lst$N <- nrow(sim)
+sim.lst$Ngr <- length(unique(sim$gr))
+mean(sim.lst$y)
+cat("model{
+    for(j in 1:N){
+        y[j] ~ dnorm(mu[gr[j]], tau.e)
+     }
+    for(i in 1:Ngr){
+        mu[i] ~ dnorm(theta, tau.b)
+    }
+    theta ~ dnorm(0, 1.0E-6)
+    tau.b ~ dgamma(0.001, 0.001)
+    sigma2.b <- 1/tau.b
+    tau.e ~ dgamma(0.001, 0.001)
+    sigma2.e <- 1/tau.e
+    cci <- sigma2.e/(sigma2.e+sigma2.b)
+}", file="sim.jags")
+sim.jags <- jags.model(file="sim.jags", data=sim.lst, n.chains=3, n.adapt=1000)
+## inits = ...
+fit.jags <- coda.samples(sim.jags, c("theta", "sigma2.b", "sigma2.e", "cci"), 10000, thin=10)
+summary(fit.jags)
+plot(fit.jags)
+##
+require(INLA)
+fit.inla <- inla(y ~ f(gr) , family="gaussian", data=sim)
+summary(fit.inla)
+sqrt(1/fit.inla$summary.hyperpar[,1])
+</code>
+=== 16/04 ===
+  - (Individual ou em duplas) Encontre um conjunto de dados para cada um dos casos na avaliação semanal de 16/04. Proceda análises não Bayesianas e Bayesianas e discuta os resultados. Trazer //scripts// para discussão na aula de 23/04 e apresentação em 25/04.
+  - Considere o modelo de verossimilhança <latex>[Y|\mu, \sigma^2] \sim N(\theta, \sigma^2)</latex> e a priori <latex>\tau = 1/\sigma^2 \sim Ga(a, b)</latex>. Mostre como obter a densidade: \\ <latex>[Y|\theta, a, b] = \frac{\Gamma((n/2)+a)}{\pi^{n/2} \Gamma(a) (\sum_i (x_i - \theta)^2 + 2b)^{(n/2)+a}}</latex>. \\ Como este resultado pode ser interpretado?
+=== 07/05 ===
+<code R>
+require(INLA)
+##
+## Visualizado dados
+##
+data(Tokyo)
+head(Tokyo)
+plot(y ~ time, data=Tokyo)
+## colocando na forma de proporção de dias com chuva
+plot(y/2 ~ time, data=Tokyo)
+##
+## 1. Modelo "Nulo": só intercepto
+## estimando a probabilidade de chuva como uma constante:
+fit.glm <- glm(cbind(y, n-y) ~ 1, family=binomial, data=Tokyo)
+abline(h=exp(coef(fit.glm))/(1+exp(coef(fit.glm))), col=2, lty=3, lwd=3)
+## como, como este modelo, todos os valores preditos são iguais bastaria fazer:
+abline(h=fitted(fit.glm)[1], col=2, lty=3, lwd=3)
+##
+## 2. Modelo com probabilidades variando no tempo (variável/processo latente)
+## modelando o logito(probabilidade) como um efeito aleatório correlacionado no tempo
+## segundo um "random walk" cíclico de ordm 2
+modelo = y ~ 0 + f(time, model="rw2", cyclic=T, param=c(1, 0.0001))
+fit <- inla(modelo, data=Tokyo, family="binomial", Ntrials=n, control.predictor=list(compute=TRUE))
+##
+names(fit)
+head(fit$summary.fitted.values)
+## sobrepondo ao gráfico dos dados (moda, mediana e médi são praticamente indistinguíveis
+with(fit, matlines(summary.fitted.values[,c(1,3:6)], lty=c(1,2,2,2,3), col=1))
+##
+## 3. Agora o mesmo modelo nulo anterior porém jusado pelo INLA
+##
+modelo0 = y ~ 1
+fit0 <- inla(modelo0, data=Tokyo, family="binomial", Ntrials=n, control.predictor=list(compute=TRUE))
+summary(fit0)
+fit0$summary.fitted.values
+with(fit0, matlines(summary.fitted.values[,c(1,3:6)], lty=c(1,2,2,2,3), col=2))
+##
+## 4. Modelando usando GAM (generalised additive model)
+##
+require(mgcv)
+fit.gam <- gam(cbind(y, n-y) ~ s(time), family=binomial, data=Tokyo)
+names(fit.gam)
+fitted(fit.gam, se=T)
+pred.gam <- predict(fit.gam, type="response", se=T, newdata=Tokyo["time"])
+names(pred.gam)
+with(pred.gam, matlines(cbind(fit, fit+2*se.fit, fit-2*se.fit), lty=c(1,2,2), col=4))
+</code>

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