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disciplinas:ce067:teoricas:vacontinuas [2008/05/06 14:45] – silviadisciplinas:ce067:teoricas:vacontinuas [2008/05/18 12:42] (atual) – joel
Linha 225: Linha 225:
 De forma mais geral, uma variável aleatória contínua é modelada pela distribuição exponencial se sua função densidade de probabilidade é descrita por:  De forma mais geral, uma variável aleatória contínua é modelada pela distribuição exponencial se sua função densidade de probabilidade é descrita por: 
  
-f(x)= α e<sup>-αx<\sup>, x≥0.+<latex> f(x)= \alpha e^{-\alpha x}, x \geq 0.</latex>
  
 Para o modelo exponencial, a média e variância são inversamente proporcionais ao parâmetro α:  Para o modelo exponencial, a média e variância são inversamente proporcionais ao parâmetro α: 
Linha 234: Linha 234:
 Na distribuição exponencial, a probabilidade da variável aleatória pertencer ao intervalo //(a,b)// é obtida através de : Na distribuição exponencial, a probabilidade da variável aleatória pertencer ao intervalo //(a,b)// é obtida através de :
  
-P(a ≤ X ≤ b)= ∫αexp(-αx) dx= exp(-α a)-exp(-α b)+<latex>P(a \leq X \leq b)= \int_{a}^{b} \alpha e^{-\alpha x} dx= e^{-\alpha a}-e^{-\alpha b}</latex>
  
  
Linha 260: Linha 260:
 P(X > t+s|X>s)=P(X>t) P(X > t+s|X>s)=P(X>t)
 </latex> </latex>
- 
 ==== Modelo Normal (Gaussiano) ==== ==== Modelo Normal (Gaussiano) ====
  
Linha 273: Linha 272:
 Algumas importantes propriedades desta distribuição são : Algumas importantes propriedades desta distribuição são :
  
-  -   <latex>f(x-\mu)=f(\mu-x)</latex> +  -   <latex>f(x-\mu)=f(\mu-x)</latex> (f(x) é simétrica em torno de μ) 
-  -   <latex> \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0 </latex> +  -  <latex> f(x) \rightarrow 0</latex> quando <latex> x \rightarrow \pm \infty</latex>  
-  -  <latex> arg\max_{x} f(x) = \mu </latex>+  -  o valor máximo de f(x) se dá para x = μ
  
  
Linha 290: Linha 289:
  
 <latex> <latex>
-P(a\leq X \leq b)= \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}+P(a\leq X \leq b)= \displaystyle\int_{a}^b \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
 </latex> </latex>
  
Linha 330: Linha 329:
  
 <latex> <latex>
-P(9<X<10)= +P(9<X<10)=P\left(\dfrac{9-8,2}{1,34}<Z<\dfrac{10-8,2}{1,34}\right)</latex>
-</latex> +
- +
-<latex> +
-P\left(\dfrac{9-8,2}{1,34}<Z<\dfrac{10-8,2}{1,34}\right)= +
-</latex>+
  
 <latex> <latex>
-P(0,597<Z<1,343)=0,186+=P(0,597<Z<1,343)=0,186
 </latex> </latex>
  
Linha 361: Linha 355:
 que serão obtidas a partir de: que serão obtidas a partir de:
  
-<latex> P(X \geq 50)=\sum_{k=50}^{200}\binom{200}{ k}0,3^x 0,7^{200-k}=0,9484</latex>.+<latex> P(X \geq 50)=\sum_{k=50}^{200}\binom{200}{ k}0,3^k 0,7^{200-k}=0,9484</latex>.
  
 Entretanto, este cálculo somente é viável se for utilizado um computador ou uma calculadora já programada para efetuar tal operação, pois envolve a somatória de 151 probabilidades. Uma das formas de obter este resultado, de modo aproximado,  é admitir que X é uma variável aleatória contínua e, pelas próprias características da distribuição binomial, a normal torna-se candidata natural para reger as probabilidades nesta aproximação. Então, com esta aproximação : Entretanto, este cálculo somente é viável se for utilizado um computador ou uma calculadora já programada para efetuar tal operação, pois envolve a somatória de 151 probabilidades. Uma das formas de obter este resultado, de modo aproximado,  é admitir que X é uma variável aleatória contínua e, pelas próprias características da distribuição binomial, a normal torna-se candidata natural para reger as probabilidades nesta aproximação. Então, com esta aproximação :
Linha 371: Linha 365:
 </latex> </latex>
  
 +de modo que
 +
 +<latex>
 +E(X)=np
 +</latex>
 +
 +<latex>
 +Var(X)=np(1-p)
 +</latex>
 então, então,
  

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