Introdução

Em geral, intervalos de confiança são a forma mais informativa de apresentar os achados pricipais de um estudo.

Contudo, algumas vezes existe um particular interesse em decidir sobre a verdade ou não de uma hipótese específica (se dois grupos têm a mesma média ou não, ou se o parâmetro populacional tem um valor em particular ou não).

Os testes de hipóteses fornecem-nos uma estrutura para que façamos isto.

Vamos desenvolver as idéias gerais de teste de hipótese supondo, inicialmente, que o modelo Normal é adequado para os dados.

Veja o exemplo a seguir retirado de Magalhães e Lima (2004):

Exemplo 8.1: Suponha que, entre pessoas sadias, a concentração de certa substância no sangue se comporta segundo um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio padrão 6 unidades/ml. Pessoas sofrendo de uma doença específica têm a concentração média da substância alterada para 18 unidades/ml. Admitimos que o modelo Normal, com desvio padrão 6 unidades/ml continua representando de forma adequada a concentração da substância em pessoas com a doença.

Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doença é eficaz. Uma amostra aleatória de tamanho n=30 é selecionada entre indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento. Sabemos que para i=1,2,…,30, temos X_i~N(μ,36), sendo μ=14 ou μ=18 dependendo do tratamento ser eficiente ou não.

Caso a amostra de 30 valores forneça valor médio de concentração alto e “próximo” de 18, teremos evidências de que o tratamento não é eficaz, ao passo que um valor baixo e “próximo” de 14 unidades/ml nos revelaria crer que o tratamento apresenta resultados satisfatórios. Isto é, se o tratamento for eficaz, então os 30 indivíduos podem ser vistos como membros da população com concentração modelada por uma N(14,36), caso contrário, eles pertencerão à população N(18,36).

No exemplo acima, o interesse consiste em testar se a média populacional μ é igual a 14, caso em que os indivíduos pertencem à população de sadios, contra a alternativa de ser igual a 18, valor que corresponde à população de doentes.

Como estamos tratando com a média populacional, utilizaremos, no teste a média amostral <latex>\bar{X}</latex>, um estimador não-viciado e consistente de μ. Será baseado no valor observado de <latex>\bar{X}</latex>, denotado por <latex>\bar{x}_{obs}</latex>, que tomaremos nossa decisão a respeito da eficácia da tratamento proposto.

Pelas suposições feitas acima, a concentração da substância segue um modelo Normal com desvio padrão de 6 unidades/ml. Então, para o tamanho de amostra igual a 30, a média amostral terá distribuição N(μ,36/30).

Um critério que pode ser utilizado, para decidir sobre o valor de μ, é determinar um valor crítico, digamos <latex>x_c</latex>, tal que se <latex>\bar{X}>x_c</latex>, concluímos que a amostra pertence à população com média μ=18, ou seja, o tratamento não é eficaz.

Por outro lado, quando <latex>\bar{X} \leq x_c</latex>, concluímos que a amostra pertence à população com média μ=14, sendo o tratamento considerado eficaz.

É importante ter em mente que, para a argumentação anterior ficar completa, precisamos determinar o valor <latex>x_c</latex> e quantificar os erros associados às possíveis conclusões. Observe que, sendo <latex>\bar{X}</latex> uma variável aleatória, corremos o risco de concluir incorretamente que o tratamento é eficaz. Ou, de modo recíproco, decidir que o tratamento não é eficiente quando ele é.

As duas hipóteses sobre a eficácia do tratamento são denotadas por H₀ e H_a e, usualmente, denominadas hipótese nula e hipótese alternativa.

H₀: O tratamento não é eficaz

H_a: O tratamento é eficaz

Essas hipóteses correspondem aos diferentes valores do parâmetro μ e, assim, podemos reescrevê-las como:

H₀: μ=18 versus H_a: μ=14 (teste de hipóteses simples)

No caso do tratamento ser eficaz, é razoável assumirmos que ele foi capaz de fazer com que os indivíduos da amostra mudassem para uma população cuja média é inferior a 18, caso contrário, se o tratamento é ineficaz, μ não se alteraria. Assim, as hipóteses de interesse seriam escritas como

H₀: μ=18 versus H_a: μ<18 (teste de hipóteses unilateral)

Para verificarmos se o tratamento produz algum efeito, seja ele benéfico (μ<18) ou danoso (μ>18), devemos construir um teste bilateral:

H₀: μ=18 versus H_a: μ≠18 (teste de hipóteses bilateral)

Por conveniência técnica deixamos sempre a igualdade na hipótese nula.

Os dois erros que podem ser cometidos ao se realizar um teste de hipóteses são:

• Erro do Tipo I: Rejeitar a hipótese H₀, quando H₀ é verdadeira, e
• Erro do Tipo II: Não rejeitar a hipótese H₀, quando H₀ é falsa.

Denotamos

• <latex>\alpha=P(\mbox{Erro Tipo I})=P(\mbox{Rej} H_0|H_0 \mbox{Verdadeira})</latex>
• <latex>\beta=P(\mbox{Erro Tipo II})=P(\mbox{Não Rej} H_0|H_0 \mbox{Falsa})</latex>

Considerando as hipóteses H₀: μ=18 versus H_a: μ<18, temos a seguinte interpretação para os erros:

• <latex>\alpha=P(\mbox{concluir que o tratamento é eficaz qdo na verdade ele não é})</latex>
• <latex>\beta=P(\mbox{concluir que o tratamento não pe eficaz qdo na verdade ele é})</latex>

A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, α e β, são próximas de zero. Entretanto, à medida que diminuímos α, β tende a aumentar.

Veja como dependendo do posicionamento de <latex>x_c</latex>, a diminuição de α implica num aumento de β.

Levando isso em conta, devemos cuidar para que, ao definir as hipóteses, o erro mais importante a ser evitado seja o erro do tipo I. Á sua probabilidade α damos o nome de nível de significância do teste.

Supondo α conhecido, vamos descrever como determinar o valor crítico <latex>x_c</latex>.

Inicialmente, note que

<latex>\alpha=P(\mbox{erro tipo I})=P(\mbox{rej} H_0|H_0 \mbox{Verdadeira})</latex>

<latex>=P(\bar{X}<x_c|\mu=18)</latex>

<latex>=P(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}}) </latex>

<latex>=P(Z<z_c) </latex>

com Z~N(0,1). Portanto, dado α obtemos z_c na tabela da Normal e calculamos x_c da seguinte forma:

<latex>z_c=\frac{x_c-18}{6/\sqrt{30}} \Rightarrow x_c=18+z_c\frac{6}{\sqrt{30}}</latex>

Por exemplo, para α=0,05 temos

<latex>0,05=P(Z<z_c) \Rightarrow z_c=-1,64</latex>

logo

<latex>x_c=18-1,64 \frac{6}{\sqrt{30}}=16,20.</latex>

Uma vez colhida a amostra, se a estimativa <latex>\bar{x}_{obs}<16,20</latex>; rejeitamos a hipótese nula concluindo que o tratamento é eficaz.

A região dada pelo conjunto dos números reais menores que 16,20 é denominada de Região de Rejeição ou Região Crítica e representada por RC.

<latex>RC=\{x \in R:x<16,20\}</latex>

Se a amostra obtida forneceu a estimativa <latex>\bar{x}_{obs}=16,04</latex>; que pertence à RC, rejeitamos H₀ ao nível de significância de α=0,05.

A construção de testes de hipóteses bilaterais é feita de maneira similar à apresentada para o caso unilateral, exceto que, agora, devemos considerar uma Região de Rejeição composta de duas partes disjuntas.

Para exemplificar, suponha que μ₀ é uma constante conhecida e que as hipóteses nula e alternativa são expressas como

H₀: μ=μ₀ versus H_a: μ≠μ₀

A Região Crítica será dada por

<latex>RC=\{x \in R:x<x_{c_1} \mbox{ ou } x>x_{c_2}\}</latex>

e, para um valor α fixado, determinamos os números <latex>x_{c_1}</latex> e <latex>x_{c_2}</latex> de modo que

<latex>P(\bar{X}<x_{c_1} \mbox{ ou } \bar{X}>x_{c_2})=\alpha</latex>

Dada a simetria da densidade Normal, distribuímos a massa α igualmente entre as duas partes da Região de Rejeição. Isto é,

<latex>P(\bar{X}<x_{c_1})=\alpha/2 \mbox{ e } P(\bar{X}>x_{c_2})=\alpha/2</latex>

Sumário das estapas para a realização de um teste de hipóteses:

1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa
2. Definir a forma da região crítica, com base na hipótese alternativa
3. Identificar a distribuição do estimador e obter sua estimativa
4. Fixar α e obter a região crítica
5. Concluir o teste com base na estimativa e na região crítica

O exemplo 8.4 de Magalhães e Lima (2004) ilustra as etapas acima descritas com um teste para uma proporção.

Nos testes desenvolvidos nesta seção, duas suposições básicas foram feitas:

• a variável aleatória de interesse na população segue o modelo Normal
• a variância é conhecida

A ausência de normalidade pode ser contornada com o auxílio do Teorema Central do Limite o qual garante que, para amostras grandes, a média amostral tem distribuição Normal.

Nestes casos praticamente não haverá alteração nos procedimentos que estudamos até agora, pois continuamos a usar a densidade Normal para estabelecer a região crítica. Entretanto, se a variância for desconhecida, ela precisará ser estimada e precisaremos de uma nova distribuição para <latex>\bar{X}</latex>.

Inicialmente, manteremos a suposição de que a variável aleatória de interesse tem distribuição Normal.

Se o desvio-padrão é desconhecido, ele precisa ser estimado. Supondo que nossa amostra aleatória seja representada pelo vetor de variáveis aleatórias <latex>(X_1,X_2,\cdots,X_n)</latex>, todas elas com densidade Normal de média μ e variância σ². Vamos utilizar o “melhor” estimador que conhecemos para σ², a variância amostral <latex>S^2=(\sum X_i^2-n\bar{X}^2)/(n-1)</latex>.

Definindo agora a variável padronizada

<latex>T=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{S^2/n}}=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} </latex>

vemos que T também é uma variável aleatória. Entretanto, apesar de <latex>\bar{X}</latex> ter distribuição Normal, denominador envolve a variável aleatória <latex>S^2,</latex> que fará com que a função densidade de T seja diferente da Normal, afinal T surge a partir da razão entre duas variáveis aleatórias <latex>\bar{x}</latex> e <latex>S^2</latex>, respectivamente.

Esta nova densidade, que pode ser deduzida teoricamente, é denominada t de Student e seu parâmetro tem o nome de graus de liberdade, neste caso correspondendo ao tamanho da amostra aleatória subtraído de 1.

A medida em que o tamanho da amostra aumenta a distribuição da variável T se aproxima da distribuição de Z, a normal padronizada. Isto ocorrem em conseq\“uência das propriedades de <latex> S^2 </latex> que é não viciado e consistente para <latex>\sigma^2</latex>. Este resultado pode ser expresso como:

<latex>

\dfrac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{(n-1)} \rightarrow_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim Normal(0,1) </latex>

A notação utilizada será <latex>t_{(n-1)}</latex> e, devido à complexidade da sua função densidade, as probabilidades são obtidas de tabelas construídas numericamente. A exemplo da Normal, o modelo t-Student tem densidade em forma de sino, entretanto, as caudas tem maior massa que a N(0,1).

*Exemplo 8.5* Deseja-se investigar alteração no consumo de oxigênio em decorrência de uma certa moléstia que ataca o rim. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição normal com média 12 cm^3 /min. Os valores medidos em cinco pacientes com moléstia foram: 14,4 ; 12,9 ; 15 ; 13,7 e 13,5. Qual seria a conclusão com nível de significância de 1%?

<latex>

H_0:\mu=12

H_1:\mu\neq 12

</latex>

Deste modo, é obtida a seguinte região crítica:

<latex> RC=\lbrace t \in \mathbb{R} | t<t_1 ~~ou~~ t>t_2\rbrace </latex>

Ao contrário do teste para média com variância conhecida que calcula valores críticos para <latex>\bar{X}</latex>, vamos utilizar para construção da região crítica valores da estatística T.

Os valores t₁ e t₂ são extremos sob H₀ e tais que :

<latex> P(T < t_1)=0,01/2~~ P(T > t_2)=0,01/2 </latex>

Com 4 graus de liberdade, estes valores são :

<latex>t_1=-4,604 ~~t_2=4,604</latex>

Repare que a simetria da distribuição normal se aplica também à distribuição t de Student. A Região Crítica (RC) é formada então pela união dos dois intervalos abaixo:

<latex> RC=\lbrace t \in \mathbb{R } | t \in (-\infty ; -4,604) \cup (4,604 ; \infty)\rbrace </latex>

Para concluir sobre o teste, basta situar a posição da estatística observada em relação à Região Crítica.

<latex> t_{obs}=\dfrac{\bar{x}_{obs}-12}{s_{obs}/\sqrt{5}}=t_{obs}=\dfrac{13,90-12}{0,82\sqrt{5}}=5,18 </latex>

O valor 5,18 pertence a Região Crítica, logo esta amostra de tamanho n=6 fornece evidências a favor da hipótese alternativa. Logo, rejeitamos H₀, sob o nível de significância de 1%.

Testes Qui-quadrado para Tabelas de Contingência