CE-003 Turma O - Primeiro semestre de 2011

No quadro abaixo será anotado o conteúdo dado em cada aula do curso.
São indicados os Capítulos e Sessões correspondentes nas referências bibliográficas, bem como os <fc #FF0000>exercícios sugeridos</fc>.

Veja ainda depos da tabela as Atividades Complementares.

Referências

• B & M: BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 5a Edição, Editora Saraiva
• M & L: MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C.P. Noções de Probabilidade e Estatística. IME/SP. Editora EDUSP.
• B,R & B: BARBETTA, P.A, REIS, M.M. & BORNIA, A.C. (2004) Estatística para cursos de engenharia e informática. Editora da Atlas.
• WEB Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study: Material online sobre estatística

1. Assista o vídeo a seguir, reflita, discuta com os colegas e/ou em sala.
   • Peter Donelly no TED Talks - como estatística e probabilidade podem ser usadas e … abusadas
   • note que voce pode habilitar legendas em inglês, português ou outras línguas, se desejar
   • procure anotar as principais mensagens da apresentação
   • se voce tivesse que destacar a descrever 2 (dois) pontos principais da apresentação, quais seriam?
2. Problemas para discussão:
   1. Desejamos saber a probabilidade de um casal ter duas filhas (meninas) em três situações distintas:
      • apenas sabendo que eles tem duas crianças
      • depois que o pai comenta que tem uma filha (sem dar mais detalhes, sem indicar se é a mais velha ou mais nova etc)
      • você encontra os amigos e eles estão com uma das crianças com eles que é uma menina
   2. Quantas pessoas devem haver em um grupo para que a chance de haver ao menos uma coincidência de aniversários supere 50% ?
   3. Dois jogadores (A e B) vão jogar um jogo que consiste no lançamento de dois dados. Ambos começam com R$ 10,00. Se a soma dos dados for um número ímpar, A para R$ 1,00 para B. Se a soma for par, B para R$ 1,00 para A.
      • quais os possíveis valores em dinheiro que os jogadores podem ter após 2 rodadas? A chance é a mesma para todos esses possíveis valores?
      • quais os possíveis valores em dinheiro que os jogadores podem ter após 3 rodadas? A chance é a mesma para todos esses possíveis valores?
      • o jogo é honesto?

• Além dos exercícios indicados nos livros veja neste link execícios (com resolução) que voce pode tentar
• Assista novamente o vídeo de Peter Donnelly e concentre-se no exemplo do teste de diagnóstico. Estruture o problema e a solução utilizando notação adequada de probabilidades

• Veja um vídeo com ainda uma outra explicação para o problema do tese de diagnóstico.
• Escreva uma rotina em alguma linguagem de programação para o problema do teste de diagnóstico. Considere as possíveis entradas e possíveis saidas. Use o programa para investigar o efeito da taxa básica (prevalência) nos resultados, bem como a acurácia dos testes, representando os resultados de alguma forma adequada (e.g. um gráfico). Use a página de Espaço Aberto para postar seu código.
• Exercícios propostos em material online

• Considere o problema da distribuição de probabilidades da soma do resultado do lançamento de dois dados. Encontre uma função de probabilidade adequada ao problema e utilize esta função para calcular <m>E(X)</m> e <m>V(X)</m>
• Considere um tipo dado especial onde cada face tem uma probabilidade de cair proporcional ao seu valor. Considere lançar dois destes dados. Monte o espaço amostra e obtenha a probabilidade de cada ponto. Defina uma v.a. como a soma dos valores das faces e monte a distribuição de probabilidades.
• Considere avaliar a probabilidade de ter uma “mão” de cinco cartas com exatamente 2 ases em duas situações: a) sabendo que possui um ás de copas, (b) sabendo que possui algum ás na mão. Voce acha que as probabilides am a) e b) sao iguais ou diferentes, e se diferentes qual é maior? Obtenha as probabilidades e verifique sua intuição

• Obtenha as expressões de <m>E(X)</m>, <m>V(X)</m>, <m>F(X)</m>, <m>md(X)</m>, <m>q_{0,05}</m> e <m>q_{0,95}</m> para a distribuição uniforme contínua.
• Obtenha as expressões de <m>E(X)</m>, <m>V(X)</m>, <m>F(X)</m>, <m>md(X)</m>, <m>q_{0,05}</m> e <m>q_{0,95}</m> para a distribuição exponencial.

<fs large><fc #000080>Usar os programas (wx)maxima e R para resolver os exercícios a seguir</fc></fs>

1. Fazer gráficos das diversas distribuições de probabilidades vistas nas aulas, variando os valores dos parâmetros e verificando como fica o comportamento da função.
2. Estudar a distribuição de Weibull, fazer gráficos para diferentes valores dos parâmetros.
3. Seja uma variável aleatória com distribuição Weibul <m>W(\alpha=2, \beta=20)</m>
   1. Obtenha a expressão e o gráfico da função de densidade <m>f(x)</m> e de distribuição (acumulada) <m>F(x)</m>.
   2. Calcule as probabilidades:
      • <m>P[X > 40]</m>
      • <m>P[X < 50]</m>
      • <m>P[10 < X < 45]</m>
      • <m>P[X < 5 ou X > 40]</m>
   3. Calcule os quantis
      • q tal que <m>P[X > q] = 0.90 </m>
      • q tal que <m>P[X < q] = 0.10</m>
      • <m>q_1</m> e <m>q_2</m> tal que <m>P[q_1 < X < q_2] = 0.50</m>, com 0,25 de probabilidade abaixo de <m>q_1</m> e acima <m>q_2</m>.
4. Seja uma variável aleatória com distribuição Gamma <m>G(\alpha=3, \beta=10)</m>
   1. Obtenha o gráfico da função de densidade <m>f(x)</m> e de distribuição (acumulada) <m>F(x)</m>.
   2. Verifique como obter as probabilidades:
      • <m>P[X > 50]</m>
      • <m>P[X < 10]</m>
      • <m>P[20 < X < 80]</m>
      • <m>P[X < 5 ou X > 90]</m>
   3. Verifique como obter os quantis
      • q tal que <m>P[X > q] = 0.90 </m>
      • q tal que <m>P[X < q] = 0.10</m>
      • <m>q_1</m> e <m>q_2</m> tal que <m>P[q_1 < X < q_2] = 0.50</m>, com probabilidades abaixo de <m>q_1</m> e acima <m>q_2</m> de 0,25.
   4. Verifique como obter os quartis da distribuição
5. Verificar as expressões das distribuições <m>t</m>, <m>chi^2</m> e <m>F</m> (ver sessão 7.7 em Bussab e Morettin) e como obter probabilidades q quantis utilizando as tabelas.
   
6. Seja <m>X</m> uma variável aleatória com distribuição <m>t_(8)</m> (<m>t</m>-Student com <m>\nu=8</m> graus de liberdade). Obtenha usando a tabela da distribuição:
   1. <m>P[X > 1.5]</m>
   2. <m>P[-2 < X < 2]</m>
   3. <m>k</m> tal que <m>P[|X| < k ] = 0.80</m>
   4. <m>k</m> tal que <m>P[X < k ] = 0.10</m>
   5. os quartis da distribuição
7. Seja <m>X</m> uma variável aleatória com distribuição <m>\chi_(12)</m> (<m>qui-quadrado</m> com <m>\nu=12</m> graus de liberdade). Obtenha usando a tabela da distribuição:
   1. <m>P[X > 20]</m>
   2. <m>P[X < 5]</m>
   3. <m>P[10 < X < 25]</m>
   4. <m>k</m> tal que <m>P[|X| < k ] = 0.80</m>
   5. <m>k</m> tal que <m>P[X < k ] = 0.10</m>
   6. os quartis da distribuição

<fs large>Usando o programa R para calcular probabilidades - Uma introdução</fs>
Para iniciar o R na linha de comando do Linux basta digitar:

$ R

• Prob no R - I
• Prob no R - II
• Prob no R - III

<note>Alternativamente a utilizar diretamente na linha de comandos, é possível utilizar o R de dentro de alguns editores como o gedit, vim ou (x)emacs, além de IDE's específicas como o RKward e Rstudio.

Para mais detalhes sobre interfaces gráficas para o R consulte a página de R GUI projects </note>

1. Considere a matriz de transição do exemplo 2 da aula. Escreva um programa para simular realizações desta cadeia (mostre resulçtados em um gráfico).
   <latex>

P = \left[\begin{array}{cc} 1/3 & 2/3
2/3 & 1/3 \end{array}\right] </latex>

1. Considere agora uma matriz de transição mais geral dada a seguir. Generalize seu programa do exemplo anterior e obtenha simulações para diferentes valores de p. Escreva ainda uma rotina que receba os dados de uma cadeia e retorne uma estimativa de p. Use esta rotina para obter valores estimados de p para suas diferentes simulações (com o mesmo p e variando p)
   <latex>

P = \left[\begin{array}{cc} p & 1-p
1-p & p \end{array}\right] </latex>

1. Idem anterior com \\<latex>

P=\left[\begin{array}{cc} p_1 & 1-p_1
1-p_2 & p_2 \end{array}\right] </latex>

1. Escreva agora uma rotina que calcule as probabilidades dos estados da cadeia em um passo (tempo) qualquer, a partir da matriz de transição e de um vetor <m>\nu</m> de probabilidades iniciais. Experimente (por simulação) com diferentes valores de P e <m>\nu</m>
2. Idem anterior para um determinado inicial.
3. Resuma as conclusões que podem ser obtidas analisando os resultados das simulações anteriores

1. Estude o comportamento da cadeia definida pelo exemplo 1 visto em aula.
2. Modificar a matriz P dada colocando na ultima linha: (0 0 0 0 0 1). Estudo o comportamento da cadeia.

1. Monte a matriz de transição P e estude as características da cadeia para o exemplo genético onde os pais tem genótipos AA, Aa ou aa. Analise e inspecione (tb por simulação) o comportamento para diferentes valores iniciais.