Dados

Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia (milhões de ISK). Janeiro de 2000 - agosto de 2013. ISK é o símbolo da Coroa islandesa, oficialmente coroa da Islândia, a moeda corrente na Islândia. O nome está de certa forma relacionado ao de outras moedas dos países nórdicos, como a coroa sueca e a coroa norueguesa. É subdividida em 100 aurar. Atualmente 1 Real equivale a aproximadamente 25 coroas islandesas. 

dados = fpp2::debitcards
head(dados)
##        Jan   Feb   Mar   Apr   May   Jun
## 2000 7.204 7.335 7.812 7.413 9.136 8.725

Estudo descritivo

par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,1,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0), pch=19)
plot(dados, main="Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia", ylab="Milhões de ISK", xlab="", ylim=c(5,30))
grid()

Parece-nos que começo de cada ano o menor uso dos cartões de débito no varejo na Islândia, crescendo até meados do ano, estabilizando-se um platô de uso até dinais de ano quando acontece uma forte utilização. Vejamos o comportamento mensal 

library(segmented)
tempo = time(dados)
ajuste = lm(dados ~ tempo, na.action=NULL)
ajuste1 = segmented(ajuste, seg.Z = ~ tempo, psi = c(2004,2008,2010))
summary(ajuste1)
## 
##  ***Regression Model with Segmented Relationship(s)***
## 
## Call: 
## segmented.lm(obj = ajuste, seg.Z = ~tempo, psi = c(2004, 2008, 
##     2010))
## 
## Estimated Break-Point(s):
##                 Est. St.Err
## psi1.tempo 2004.133  0.500
## psi2.tempo 2005.569  0.410
## psi3.tempo 2010.083  1.063
## 
## Coefficients of the linear terms:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1993.0733   437.8424  -4.552 1.06e-05 ***
## tempo           1.0005     0.2187   4.575 9.66e-06 ***
## U1.tempo        2.0809     1.1263   1.848       NA    
## U2.tempo       -2.5755     1.1219  -2.296       NA    
## U3.tempo        0.7127     0.3364   2.119       NA    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.86 on 156 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.8569,  Adjusted R-squared: 0.8505 
## 
## Boot restarting based on 9 samples. Last fit:
## Convergence attained in 4 iterations (rel. change -6.5891e-08)
par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,1,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0))
plot.segmented(ajuste1, lwd=2, main = "Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia", ylab = "", xlab = "", ylim=c(5,30))
points(tempo, dados, pch=19, col="red", type="l")
grid()

Dados transformados

dados1 = dados-fitted(ajuste1)
par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,4,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0), pch=19)
plot(dados1, main="Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia \n dados dem tendência", ylab="Milhões de ISK", xlab="")
abline(h=0, col="darkblue", lwd=2)
grid()

Observamos que a dispersão nos dados aumenta conforme os anos. Isso indica na necessidade de estabilizar a variância; uma posibilidade seria aplicar a função logaritmo aos dados. Observe que nos dados sem a tendência não podemos aplicar a função logaritmo, existem valores zero e negativos. Por isso, aplicaremos a função logaritmo aos dados originais e faremos novamente a eliminação da tendência. 

dados2 = log(dados)
ajuste2 = lm(dados2 ~ tempo, na.action=NULL)
ajuste3 = segmented(ajuste2, seg.Z = ~ tempo, psi = c(2004,2006,2010))
summary(ajuste3)
## 
##  ***Regression Model with Segmented Relationship(s)***
## 
## Call: 
## segmented.lm(obj = ajuste2, seg.Z = ~tempo, psi = c(2004, 2006, 
##     2010))
## 
## Estimated Break-Point(s):
##                 Est. St.Err
## psi1.tempo 2004.114  0.540
## psi2.tempo 2005.574  0.333
## psi3.tempo 2009.083  1.397
## 
## Coefficients of the linear terms:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -197.77025   25.86368  -7.647 1.98e-12 ***
## tempo          0.09993    0.01292   7.735 1.20e-12 ***
## U1.tempo       0.11530    0.06653   1.733       NA    
## U2.tempo      -0.19323    0.06724  -2.874       NA    
## U3.tempo       0.03205    0.01987   1.613       NA    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1099 on 156 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.8935,  Adjusted R-squared: 0.8888 
## 
## Boot restarting based on 6 samples. Last fit:
## Convergence attained in 4 iterations (rel. change 3.3969e-07)
par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,4,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0))
plot.segmented(ajuste3, lwd=2, main = "Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia \n logaritmo dos dados", ylab = "log(Milhões de ISK)", xlab = "", ylim=c(1.9,3.3))
points(tempo, dados2, pch=19, col="red", type="l")
grid()

dados3 = dados2-fitted(ajuste3)
par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,4,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0), pch=19)
plot(dados3, main="Uso mensal de cartões de débito no varejo na Islândia \n dados dem tendência", ylab="", xlab="")
abline(h=0, col="darkblue", lwd=2)
grid()

library(astsa)
monthplot(dados3, xlab="Meses", ylab="", type="l")
grid()

Corroboramos as observações no começo do estudo quanto ao comportamento nos messes. Ainda percebemos que exite um comportamento aleatório entre os anos em cada mês. 

acf2(dados3)

##      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6]  [,7]  [,8]  [,9] [,10] [,11] [,12]
## ACF  0.03 -0.07 -0.13 -0.09 -0.05 -0.16 -0.05 -0.10 -0.14 -0.11  0.00  0.80
## PACF 0.03 -0.07 -0.12 -0.09 -0.06 -0.19 -0.09 -0.17 -0.25 -0.27 -0.22  0.73
##      [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24]
## ACF   0.01 -0.07 -0.17 -0.12 -0.03 -0.15 -0.04 -0.07 -0.12 -0.10  0.05  0.72
## PACF -0.17 -0.12 -0.20 -0.18 -0.03 -0.10 -0.07 -0.03 -0.10 -0.05  0.05  0.09
##      [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36]
## ACF   0.02 -0.04 -0.15 -0.11 -0.03 -0.12  0.00 -0.05 -0.10 -0.08  0.01  0.61
## PACF -0.06 -0.09 -0.01 -0.02 -0.10  0.00  0.06 -0.03  0.03  0.06 -0.19 -0.04
##      [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48]
## ACF   0.02 -0.06 -0.14 -0.10 -0.03 -0.10  0.00 -0.05 -0.12 -0.05  0.01  0.55
## PACF  0.00 -0.09  0.05  0.01 -0.03  0.05 -0.13 -0.06 -0.14 -0.01  0.00 -0.01