Trabalho No.1

CE017- Séries temporais e modelos dinâmicos

Redigir de maneira individual e entregar na área correspondente no sistema Microsoft Teans um relatório eletrônico com as respostas até o dia 13 de abril de 2026.

• 1- Os dados a seguir correspondem à produçãoo total mensal de electricidade na Alemanha entre 1955 e 1979, em milhões de quilowatts-hora.

  electric = ts(c(6410,5861,6471,5779,5815,5649,5844,6108,6352,6975,7124,7393,
                  7374,7209,7114,6688,6465,6406,6524,6649,6751,7604,7706,7776,
                  8187,7261,7542,6993,7364,6521,7069,7187,7542,8318,8316,8584,
                  8737,7623,8205,7551,7226,6979,7367,7329,7720,8449,8370,8655,
                  8660,7922,8154,7964,7501,7691,7896,8433,8888,9809,9832,10173,
                  10079,9637,9971,8902,9061,8387,8966,9083,9462,10158,10270,10916,
                  11141,9783,10560,9420,9574,9235,9352,9474,9951,11130,11365,11478,
                  11658,10673,11685,10294,10582,9784,10288,10437,10819,12203,12410,12975,
                  13620,12169,12973,11454,11307,10208,11024,11189,11588,13263,12970,13508,
                  14413,13374,13694,12991,11789,11895,12909,12714,13618,14820,14667,15077,
                  15157,14141,15158,13602,13488,12510,12772,12798,13419,14833,15764,16041,
                  16111,14170,15699,13959,13412,12907,13094,13098,14347,15761,16404,16529,
                  16521,14557,15288,14757,13795,13833,13336,13524,14736,16720,17396,17776,
                  18069,16657,17339,15360,15675,13967,15371,15779,16400,18745,19677,19878,
                  20238,18581,19939,17956,16965,16382,17020,16887,18133,20497,20917,22533,
                  22490,20284,21433,20559,18375,17731,18030,17387,18937,21896,22052,23124,
                  23907,21992,24282,20835,19492,19405,19297,18995,20504,22659,23932,24330,
                  25468,23425,23896,21849,21457,20054,19519,20451,22029,24581,25451,26595,
                  27907,25190,26571,24532,23406,21240,21416,22098,23132,27008,27974,28526,
                  28995,26005,27825,24563,25163,22552,23397,22985,24668,28974,28473,28054,
                  28656,26084,27344,25755,22487,21826,20867,20802,22455,27429,28378,29719,
                  30462,29363,30630,26602,25574,24509,24401,24642,26682,28241,30195,32351,
                  32423,28242,30005,27903,25843,24277,23349,23929,26475,29055,30948,32870,
                  33266,30695,30594,28529,26841,25652,24849,25419,28088,31290,33259,34944,
                  38139,32933,34351,30217,29565,26236,27078,27633,28220,31829,33604,32945), 
                start = c(1955,1), frequency = 12)

  Fonte: A First Course on Time Series Analysis Chair of Statistics, University of Wurzburg, September 18, 2006

  Estudo descritivo

  par(mfrow=c(1,1), mar=c(3,3,1,2)+.5, mgp=c(1.6,.6,0))
  plot(electric, main = "Produção total mensal de electricidade na Alemanha", ylab = "milhões de Kw/h", 
       xlab = "", type = "l")
  grid()

  

  1. Elimine a tendência da série ajustando um modelo adequado para a esperança da série, utilizar algum modelo de regressão linear, segmentada ou não-paramétrico.




• 2- Gerar \(n=100\) observações da autorregressão \(X_t=-0.9\times X_{t-1}2+W_t\) com \(\sigma^2_W=1\). Em seguida, aplique o filtro de médias móveis \[ V_t=\dfrac{X_t+X_{t-1}+X_{t-2}+X_{t-3}}{4} \] para \(X_t\), aos dados que você gerou. Agora mostre \(X_t\) e sobreponha \(V_t\) como uma linha tracejada. Comente sobre o comportamento de \(X_t\) e como aplicar o filtro de médias móveis altera esse comportamento.

  1. Repetir o proedimentos mas com \(X_t=\cos(2\pi\, t/4)\) (observe que é uma séire sem o ruído branco)

  2. Repetir (a) mas com adição de ruído \(W_t\sim N(0,1)\) e \(X_t=\cos(2\pi \,t/4)+W_t\)

  3. Compare e contraste (a) - (b); isto é, como a média móvel muda cada série.




• 3- Suponha que \(X_t=\mu+W_t+\theta W_{t-1}\), onde \(W_t\sim N(0,\sigma^2_W)\) independentes é um ruído branco.

  1. Mostre que a função de média é \(\mbox{E}(X_t)=\mu\).

  2. Mostre que a função de autocovariância de \(X_t\) é dada por \(\gamma_X(0)=\sigma^2_W(1+\theta^2)\), \(\gamma_X(\pm 1)=\sigma^2_W\, \theta\) e que \(\gamma_X(h)=0\) caso contrário.

  3. Mostre que \(X_t\) é estacionário para todo valor de \(\theta\in\mathbb{R}\).

  4. Calcule \(\mbox{Var}(\overline{X})\) como estimador de \(\mu\) quando (i) \(\theta=1\) , (ii) \(\theta=0\) e (iii) \(\theta=-1\).

  5. Em séries temporais, o tamanho da amostra \(n\) é tipicamente grande, de modo que \((n-1)/n\approx 1\). Com isso em consideração, comente os resultados da parte (d); em particular, como é que a precisão na estimativa da média muda para os três casos diferentes?




• 4- Considere a série temporal \(X_t=\beta_0+\beta_1 \, t+W_t\), onde \(\beta_0\) e \(\beta_1\) são constantes e \(W_t\) é um processo de ruído branco com variância \(\sigma^2_W\).

  1. Determine se \(X_t\) é estacionário.

  2. Mostre que o processo \(Y_t=X_t-X_{t-1}\) é estacionário.

  3. Mostre que a média do processo de média móvel \[ V_t=\dfrac{1}{2q+1}\sum_{i=-q}^q X_{t-i} \] é \(\beta_0+\beta1\, t\) e apresente uma expressão simplificada para a função de autocovariância.




• 5- O número de nascidos vivos mensais (ajustados) em milhares nos Estados Unidos, entre 1948-1979, é a informação guardada no arquivo birth, pacote astsa.

  par(mar=c(3,4,1,1), pch=19)
  plot(astsa::birth, pch=16, xlab="", ylab="No. de nascidos vivos mensais", type="b", col="black", main="")
  grid()

  

  1. Esta série é estacionária?

  2. Aplique transformações que considere necessárias e mostre que a nova série obtida é estacionaria.